Question Number 152946 by john_santu last updated on 03/Sep/21
$$\:\:\:\frac{\mathrm{4038}}{\mathrm{1}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{6}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{10}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{15}}+…+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}+\mathrm{2}+\mathrm{3}+\mathrm{4}+…+\mathrm{2019}}}\:=? \\ $$
Commented by mathdanisur last updated on 03/Sep/21
$$\blacktriangle\:\frac{\mathrm{2}\centerdot\mathrm{2019}}{\mathrm{1}\:+\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}\:+\:\mathrm{2}}\:+\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}\:+\:\mathrm{2}\:+\:\mathrm{3}}\:+\:…\:+\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}\:+\:\mathrm{2}\:+\:\mathrm{3}\:+\:…\:+\:\mathrm{2019}}} \\ $$$$\boldsymbol{\mathrm{A}}\:=\:\mathrm{1}\:+\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}\:+\:\mathrm{2}}\:+\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}\:+\:\mathrm{2}\:+\:\mathrm{3}}\:+\:…\:+\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}\:+\:\mathrm{2}\:+\:…\:+\:\mathrm{2019}} \\ $$$$\boldsymbol{\mathrm{A}}\:=\:\mathrm{1}\:+\:\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{2}\centerdot\mathrm{3}}\:+\:\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{3}\centerdot\mathrm{4}}\:+\:…\:+\:\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{2019}\centerdot\mathrm{2020}} \\ $$$$\frac{\boldsymbol{\mathrm{A}}}{\mathrm{2}}\:=\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\:+\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}\centerdot\mathrm{3}}\:+\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}\centerdot\mathrm{4}}\:+\:…\:+\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2019}\centerdot\mathrm{2020}} \\ $$$$\frac{\boldsymbol{\mathrm{A}}}{\mathrm{2}}\:=\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\:+\:\frac{\mathrm{3}\:-\:\mathrm{2}}{\mathrm{2}\centerdot\mathrm{3}}\:+\:\frac{\mathrm{4}\:-\:\mathrm{3}}{\mathrm{3}\centerdot\mathrm{4}}\:+\:…\:+\:\frac{\mathrm{2020}\:-\:\mathrm{2019}}{\mathrm{2019}\centerdot\mathrm{2020}} \\ $$$$\frac{\boldsymbol{\mathrm{A}}}{\mathrm{2}}\:=\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\:+\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\:-\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}\:+\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}\:-\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}\:+\:…\:+\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2019}}\:-\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2020}} \\ $$$$\frac{\boldsymbol{\mathrm{A}}}{\mathrm{2}}\:=\:\mathrm{1}\:-\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2020}}\:\:\:\Rightarrow\:\:\boldsymbol{\mathrm{A}}\:=\:\frac{\mathrm{2}\centerdot\mathrm{2019}}{\mathrm{2020}} \\ $$$$\Rightarrow\:\frac{\frac{\mathrm{2}\centerdot\mathrm{2019}}{\mathrm{2}\centerdot\mathrm{2019}}}{\mathrm{2020}}\:=\:\mathrm{2020} \\ $$