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4cos-x-cos-2x-cos-3x-1-




Question Number 106468 by bemath last updated on 05/Aug/20
4cos x cos 2x cos 3x = 1
$$\mathrm{4cos}\:\mathrm{x}\:\mathrm{cos}\:\mathrm{2x}\:\mathrm{cos}\:\mathrm{3x}\:=\:\mathrm{1} \\ $$
Answered by john santu last updated on 05/Aug/20
recall : 2cos 3x cos x = cos 4x+cos 2x  ⇒2{cos 4x+cos 2x}cos 2x=1  2{2cos^2 2x−1+cos 2x}cos 2x=1  let cos 2x = ϑ   ⇒2(2ϑ^2 +ϑ−1)ϑ−1=0  4ϑ^3  + 2ϑ^2 −2ϑ−1 = 0  (2ϑ+1)(2ϑ^2 −1) = 0  case(1) cos 2x = −(1/2)   2x = ± ((2π)/3)+k.360° ; x=±(π/3)+k.180°  case(2) cos 2x = ((√2)/2)   2x = ± (π/4)+k.360° ; x= ±(π/8)+k.180°  case(3) cos 2x = −((√2)/2)  2x = ± ((3π)/4)+k.360° ; x= ±((3π)/8)+k.180°
$$\mathrm{recall}\::\:\mathrm{2cos}\:\mathrm{3x}\:\mathrm{cos}\:\mathrm{x}\:=\:\mathrm{cos}\:\mathrm{4x}+\mathrm{cos}\:\mathrm{2x} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{2}\left\{\mathrm{cos}\:\mathrm{4x}+\mathrm{cos}\:\mathrm{2x}\right\}\mathrm{cos}\:\mathrm{2x}=\mathrm{1} \\ $$$$\mathrm{2}\left\{\mathrm{2cos}\:^{\mathrm{2}} \mathrm{2x}−\mathrm{1}+\mathrm{cos}\:\mathrm{2x}\right\}\mathrm{cos}\:\mathrm{2x}=\mathrm{1} \\ $$$$\mathrm{let}\:\mathrm{cos}\:\mathrm{2x}\:=\:\vartheta\: \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{2}\left(\mathrm{2}\vartheta^{\mathrm{2}} +\vartheta−\mathrm{1}\right)\vartheta−\mathrm{1}=\mathrm{0} \\ $$$$\mathrm{4}\vartheta^{\mathrm{3}} \:+\:\mathrm{2}\vartheta^{\mathrm{2}} −\mathrm{2}\vartheta−\mathrm{1}\:=\:\mathrm{0} \\ $$$$\left(\mathrm{2}\vartheta+\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{2}\vartheta^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}\right)\:=\:\mathrm{0} \\ $$$$\mathrm{case}\left(\mathrm{1}\right)\:\mathrm{cos}\:\mathrm{2x}\:=\:−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}} \\ $$$$\:\mathrm{2x}\:=\:\pm\:\frac{\mathrm{2}\pi}{\mathrm{3}}+\mathrm{k}.\mathrm{360}°\:;\:\mathrm{x}=\pm\frac{\pi}{\mathrm{3}}+\mathrm{k}.\mathrm{180}° \\ $$$$\mathrm{case}\left(\mathrm{2}\right)\:\mathrm{cos}\:\mathrm{2x}\:=\:\frac{\sqrt{\mathrm{2}}}{\mathrm{2}}\: \\ $$$$\mathrm{2x}\:=\:\pm\:\frac{\pi}{\mathrm{4}}+\mathrm{k}.\mathrm{360}°\:;\:\mathrm{x}=\:\pm\frac{\pi}{\mathrm{8}}+\mathrm{k}.\mathrm{180}° \\ $$$$\mathrm{case}\left(\mathrm{3}\right)\:\mathrm{cos}\:\mathrm{2x}\:=\:−\frac{\sqrt{\mathrm{2}}}{\mathrm{2}} \\ $$$$\mathrm{2x}\:=\:\pm\:\frac{\mathrm{3}\pi}{\mathrm{4}}+\mathrm{k}.\mathrm{360}°\:;\:\mathrm{x}=\:\pm\frac{\mathrm{3}\pi}{\mathrm{8}}+\mathrm{k}.\mathrm{180}° \\ $$
Commented by bemath last updated on 05/Aug/20
thank you
$$\mathrm{thank}\:\mathrm{you} \\ $$

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