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5-4-1-2-m-n-m-n-




Question Number 173798 by payamnazerian last updated on 18/Jul/22
         ( ϕ^( 5) + ϕ^( 4) + 1)^( 2) = mϕ + n           m,n=?                 ........
$$ \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\left(\:\varphi^{\:\mathrm{5}} +\:\varphi^{\:\mathrm{4}} +\:\mathrm{1}\right)^{\:\mathrm{2}} =\:{m}\varphi\:+\:{n} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:{m},{n}=? \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:…….. \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\: \\ $$
Answered by mr W last updated on 18/Jul/22
ϕ^2 −ϕ−1=0  ϕ^2 =ϕ+1  ϕ^3 =ϕ^2 +ϕ=2ϕ+1  ϕ^4 =2ϕ^2 +ϕ=3ϕ+2  ϕ^5 =3ϕ^2 +2ϕ=5ϕ+3  ϕ^5 +ϕ^4 +1=5ϕ+3+3ϕ+2+1=8ϕ+6  (ϕ^5 +ϕ^4 +1)^2 =64ϕ^2 +96ϕ+36  (ϕ^5 +ϕ^4 +1)^2 =64(ϕ+1)+96ϕ+36  (ϕ^5 +ϕ^4 +1)^2 =160ϕ+100=mϕ+n  ⇒m=160, n=100
$$\varphi^{\mathrm{2}} −\varphi−\mathrm{1}=\mathrm{0} \\ $$$$\varphi^{\mathrm{2}} =\varphi+\mathrm{1} \\ $$$$\varphi^{\mathrm{3}} =\varphi^{\mathrm{2}} +\varphi=\mathrm{2}\varphi+\mathrm{1} \\ $$$$\varphi^{\mathrm{4}} =\mathrm{2}\varphi^{\mathrm{2}} +\varphi=\mathrm{3}\varphi+\mathrm{2} \\ $$$$\varphi^{\mathrm{5}} =\mathrm{3}\varphi^{\mathrm{2}} +\mathrm{2}\varphi=\mathrm{5}\varphi+\mathrm{3} \\ $$$$\varphi^{\mathrm{5}} +\varphi^{\mathrm{4}} +\mathrm{1}=\mathrm{5}\varphi+\mathrm{3}+\mathrm{3}\varphi+\mathrm{2}+\mathrm{1}=\mathrm{8}\varphi+\mathrm{6} \\ $$$$\left(\varphi^{\mathrm{5}} +\varphi^{\mathrm{4}} +\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} =\mathrm{64}\varphi^{\mathrm{2}} +\mathrm{96}\varphi+\mathrm{36} \\ $$$$\left(\varphi^{\mathrm{5}} +\varphi^{\mathrm{4}} +\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} =\mathrm{64}\left(\varphi+\mathrm{1}\right)+\mathrm{96}\varphi+\mathrm{36} \\ $$$$\left(\varphi^{\mathrm{5}} +\varphi^{\mathrm{4}} +\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} =\mathrm{160}\varphi+\mathrm{100}={m}\varphi+{n} \\ $$$$\Rightarrow{m}=\mathrm{160},\:{n}=\mathrm{100} \\ $$
Commented by Tawa11 last updated on 18/Jul/22
Great sir
$$\mathrm{Great}\:\mathrm{sir} \\ $$
Commented by mnjuly1970 last updated on 18/Jul/22
    grateful sir
$$\:\:\:\:{grateful}\:{sir} \\ $$
Answered by Rasheed.Sindhi last updated on 18/Jul/22
Another way   ( ϕ^( 5) + ϕ^( 4) + 1)^( 2) = mϕ + n; m,n=?    ϕ^2 −ϕ−1=0⇒ϕ^2 =ϕ+1⇒ϕ^2 −1=ϕ    ϕ^( 5) + ϕ^( 4) + 1=ϕ^( 4) (ϕ+1)+1  =ϕ^4 ϕ^2 +1=ϕ^6 +1  =(ϕ^2 +1)(ϕ^4 −ϕ^2 +1)  =(ϕ^2 −1+2)(ϕ^2 (ϕ^2 −1)+1)  =(ϕ+2){ϕ(ϕ+1)+1}  =(ϕ+2)(ϕ^2 +ϕ+1)  =(ϕ+2)(ϕ^2 −ϕ−1+2ϕ+2)  =(ϕ+2)(0+2ϕ+2)  =2ϕ^2 +6ϕ+4  =2(ϕ+1)+6ϕ+4  =8ϕ+6  (ϕ^( 5) + ϕ^( 4) + 1)^2 =(8ϕ+6)^2      =64ϕ^2 +96ϕ+36     =64(ϕ+1)+96ϕ+36     =160ϕ+100  m=160,n=100
$${Another}\:{way} \\ $$$$\:\left(\:\varphi^{\:\mathrm{5}} +\:\varphi^{\:\mathrm{4}} +\:\mathrm{1}\right)^{\:\mathrm{2}} =\:{m}\varphi\:+\:{n};\:{m},{n}=? \\ $$$$ \\ $$$$\varphi^{\mathrm{2}} −\varphi−\mathrm{1}=\mathrm{0}\Rightarrow\varphi^{\mathrm{2}} =\varphi+\mathrm{1}\Rightarrow\varphi^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}=\varphi \\ $$$$ \\ $$$$\varphi^{\:\mathrm{5}} +\:\varphi^{\:\mathrm{4}} +\:\mathrm{1}=\varphi^{\:\mathrm{4}} \left(\varphi+\mathrm{1}\right)+\mathrm{1} \\ $$$$=\varphi^{\mathrm{4}} \varphi^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}=\varphi^{\mathrm{6}} +\mathrm{1} \\ $$$$=\left(\varphi^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}\right)\left(\varphi^{\mathrm{4}} −\varphi^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}\right) \\ $$$$=\left(\varphi^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}+\mathrm{2}\right)\left(\varphi^{\mathrm{2}} \left(\varphi^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}\right)+\mathrm{1}\right) \\ $$$$=\left(\varphi+\mathrm{2}\right)\left\{\varphi\left(\varphi+\mathrm{1}\right)+\mathrm{1}\right\} \\ $$$$=\left(\varphi+\mathrm{2}\right)\left(\varphi^{\mathrm{2}} +\varphi+\mathrm{1}\right) \\ $$$$=\left(\varphi+\mathrm{2}\right)\left(\varphi^{\mathrm{2}} −\varphi−\mathrm{1}+\mathrm{2}\varphi+\mathrm{2}\right) \\ $$$$=\left(\varphi+\mathrm{2}\right)\left(\mathrm{0}+\mathrm{2}\varphi+\mathrm{2}\right) \\ $$$$=\mathrm{2}\varphi^{\mathrm{2}} +\mathrm{6}\varphi+\mathrm{4} \\ $$$$=\mathrm{2}\left(\varphi+\mathrm{1}\right)+\mathrm{6}\varphi+\mathrm{4} \\ $$$$=\mathrm{8}\varphi+\mathrm{6} \\ $$$$\left(\varphi^{\:\mathrm{5}} +\:\varphi^{\:\mathrm{4}} +\:\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} =\left(\mathrm{8}\varphi+\mathrm{6}\right)^{\mathrm{2}} \\ $$$$\:\:\:=\mathrm{64}\varphi^{\mathrm{2}} +\mathrm{96}\varphi+\mathrm{36} \\ $$$$\:\:\:=\mathrm{64}\left(\varphi+\mathrm{1}\right)+\mathrm{96}\varphi+\mathrm{36} \\ $$$$\:\:\:=\mathrm{160}\varphi+\mathrm{100} \\ $$$${m}=\mathrm{160},{n}=\mathrm{100} \\ $$
Commented by mnjuly1970 last updated on 19/Jul/22
  thanks alot sir
$$\:\:{thanks}\:{alot}\:{sir} \\ $$
Answered by Rasheed.Sindhi last updated on 18/Jul/22
Still another way  ϕ^2 −ϕ−1=0  ϕ^2 =ϕ+1  ϕ^2 +ϕ=2ϕ+1  ϕ^5 +ϕ^4 =ϕ^3 (2ϕ+1)               =ϕ^2 (2ϕ^2 +ϕ)               =(ϕ+1)( 2(ϕ+1)+ϕ )              =(ϕ+1)( 3ϕ+2)              =3ϕ^2 +5ϕ+2              =3(ϕ+1)+5ϕ+2   ϕ^5 +ϕ^4 +1=8ϕ+5+1=8ϕ+6   (ϕ^5 +ϕ^4 +1)^2 =(8ϕ+6)^2                              =64ϕ^2 +96ϕ+36                             =64(ϕ+1)+96ϕ+36                           =160ϕ+100        m=160,n=100
$${Still}\:{another}\:{way} \\ $$$$\varphi^{\mathrm{2}} −\varphi−\mathrm{1}=\mathrm{0} \\ $$$$\varphi^{\mathrm{2}} =\varphi+\mathrm{1} \\ $$$$\varphi^{\mathrm{2}} +\varphi=\mathrm{2}\varphi+\mathrm{1} \\ $$$$\varphi^{\mathrm{5}} +\varphi^{\mathrm{4}} =\varphi^{\mathrm{3}} \left(\mathrm{2}\varphi+\mathrm{1}\right) \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:=\varphi^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{2}\varphi^{\mathrm{2}} +\varphi\right) \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:=\left(\varphi+\mathrm{1}\right)\left(\:\mathrm{2}\left(\varphi+\mathrm{1}\right)+\varphi\:\right) \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:=\left(\varphi+\mathrm{1}\right)\left(\:\mathrm{3}\varphi+\mathrm{2}\right) \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:=\mathrm{3}\varphi^{\mathrm{2}} +\mathrm{5}\varphi+\mathrm{2} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:=\mathrm{3}\left(\varphi+\mathrm{1}\right)+\mathrm{5}\varphi+\mathrm{2} \\ $$$$\:\varphi^{\mathrm{5}} +\varphi^{\mathrm{4}} +\mathrm{1}=\mathrm{8}\varphi+\mathrm{5}+\mathrm{1}=\mathrm{8}\varphi+\mathrm{6} \\ $$$$\:\left(\varphi^{\mathrm{5}} +\varphi^{\mathrm{4}} +\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} =\left(\mathrm{8}\varphi+\mathrm{6}\right)^{\mathrm{2}} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:=\mathrm{64}\varphi^{\mathrm{2}} +\mathrm{96}\varphi+\mathrm{36} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:=\mathrm{64}\left(\varphi+\mathrm{1}\right)+\mathrm{96}\varphi+\mathrm{36} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:=\mathrm{160}\varphi+\mathrm{100} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:{m}=\mathrm{160},{n}=\mathrm{100} \\ $$

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