Question Number 146896 by mathdanisur last updated on 16/Jul/21
$$\frac{\mathrm{5}}{\:\sqrt[{\mathrm{8}}]{\mathrm{6}}\:+\:\mathrm{1}}\:\centerdot\:\frac{\mathrm{1}}{\:\sqrt[{\mathrm{4}}]{\mathrm{6}}\:+\:\mathrm{1}}\:\centerdot\:\frac{\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{6}}\:+\:\mathrm{1}}\:+\:\mathrm{1}\:=\:? \\ $$
Answered by EDWIN88 last updated on 16/Jul/21
$$\:\mathrm{What}\:\mathrm{the}\:\mathrm{value}\:\mathrm{of}\: \\ $$$$\:\:\frac{\mathrm{5}}{\:\sqrt[{\mathrm{8}}]{\mathrm{6}}\:+\mathrm{1}}\:×\frac{\mathrm{1}}{\:\sqrt[{\mathrm{4}}]{\mathrm{6}}\:+\mathrm{1}}\:×\frac{\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{6}}\:+\mathrm{1}}\:+\:\mathrm{1}\:. \\ $$$$\:\mathrm{Solution}\::\: \\ $$$$\mathrm{let}\:\sqrt[{\mathrm{8}}]{\mathrm{6}}\:=\:\mathrm{u}\:\rightarrow\begin{cases}{\sqrt[{\mathrm{4}}]{\mathrm{6}}\:=\:\mathrm{u}^{\mathrm{2}} }\\{\sqrt{\mathrm{6}}\:=\:\mathrm{u}^{\mathrm{4}} \:}\end{cases} \\ $$$$\mathrm{T}\:=\:\frac{\mathrm{5}}{\:\sqrt[{\mathrm{8}}]{\mathrm{6}}\:+\mathrm{1}}\:×\:\frac{\mathrm{1}}{\:\sqrt[{\mathrm{4}}]{\mathrm{6}}+\mathrm{1}}\:×\:\frac{\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{6}}+\mathrm{1}}\:+\mathrm{1} \\ $$$$\mathrm{T}=\frac{\mathrm{5}}{\mathrm{u}+\mathrm{1}}×\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{u}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}}×\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{u}^{\mathrm{4}} +\mathrm{1}}+\mathrm{1} \\ $$$$\mathrm{T}=\frac{\mathrm{5}}{\left(\mathrm{u}+\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{u}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{u}^{\mathrm{4}} +\mathrm{1}\right)}\:+\mathrm{1} \\ $$$$\mathrm{T}=\frac{\mathrm{5}}{\left(\mathrm{u}+\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{u}^{\mathrm{6}} +\mathrm{u}^{\mathrm{4}} +\mathrm{u}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}\right)}\:+\mathrm{1} \\ $$$$\mathrm{T}=\:\frac{\mathrm{5}}{\mathrm{u}^{\mathrm{7}} +\mathrm{u}^{\mathrm{6}} +\mathrm{u}^{\mathrm{5}} +\mathrm{u}^{\mathrm{4}} +\mathrm{u}^{\mathrm{3}} +\mathrm{u}^{\mathrm{2}} +\mathrm{u}+\mathrm{1}}\:+\mathrm{1} \\ $$$$\mathrm{T}=\frac{\mathrm{5}\left(\mathrm{u}−\mathrm{1}\right)}{\mathrm{u}^{\mathrm{8}} −\mathrm{1}}\:+\mathrm{1} \\ $$$$\mathrm{T}=\frac{\mathrm{5}\left(\sqrt[{\mathrm{8}}]{\mathrm{6}}−\mathrm{1}\right)}{\mathrm{6}−\mathrm{1}}\:+\mathrm{1}\:=\:\sqrt[{\mathrm{8}}]{\mathrm{6}}\: \\ $$
Commented by mathdanisur last updated on 16/Jul/21
$${thank}\:{you}\:{Ser} \\ $$
Answered by liberty last updated on 16/Jul/21
$$\:\frac{\mathrm{5}}{\:\sqrt[{\mathrm{8}}]{\mathrm{6}}+\mathrm{1}}\:×\frac{\sqrt[{\mathrm{8}}]{\mathrm{6}}−\mathrm{1}}{\:\sqrt[{\mathrm{8}}]{\mathrm{6}}−\mathrm{1}}×\frac{\mathrm{1}}{\:\sqrt[{\mathrm{4}}]{\mathrm{6}}+\mathrm{1}}×\frac{\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{6}}+\mathrm{1}}+\mathrm{1}\: \\ $$$$=\frac{\mathrm{5}\left(\sqrt[{\mathrm{8}}]{\mathrm{6}}−\mathrm{1}\right)}{\:\sqrt[{\mathrm{4}}]{\mathrm{6}}−\mathrm{1}}×\frac{\mathrm{1}}{\:\sqrt[{\mathrm{4}}]{\mathrm{6}}+\mathrm{1}}×\frac{\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{6}}+\mathrm{1}}+\mathrm{1} \\ $$$$=\:\frac{\mathrm{5}\left(\sqrt[{\mathrm{8}}]{\mathrm{6}}−\mathrm{1}\right)}{\:\sqrt{\mathrm{6}}−\mathrm{1}}×\frac{\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{6}}+\mathrm{1}}\:+\mathrm{1}\: \\ $$$$=\:\frac{\mathrm{5}\left(\sqrt[{\mathrm{8}}]{\mathrm{6}}−\mathrm{1}\right)}{\mathrm{6}−\mathrm{1}}\:+\:\mathrm{1}\: \\ $$$$=\:\sqrt[{\mathrm{8}}]{\mathrm{6}}−\mathrm{1}+\mathrm{1}=\:\sqrt[{\mathrm{8}}]{\mathrm{6}}\:. \\ $$
Commented by mathdanisur last updated on 16/Jul/21
$${thank}\:{you}\:{Ser} \\ $$