Question Number 20242 by tammi last updated on 24/Aug/17
$$\int\frac{\mathrm{5}{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{11}{x}+\mathrm{26}}{{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{2}{x}+\mathrm{5}}{dx} \\ $$$${integration}\:{by}\:{partial}\:{fraction} \\ $$
Answered by ajfour last updated on 24/Aug/17
$$\frac{\mathrm{5}{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{11}{x}+\mathrm{26}}{{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{2}{x}+\mathrm{5}}={A}+\frac{{Bx}+{C}}{{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{2}{x}+\mathrm{5}} \\ $$$$\Rightarrow{A}\left({x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{2}{x}+\mathrm{5}\right)+{Bx}+{C} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:=\mathrm{5}{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{11}{x}+\mathrm{26} \\ $$$$\Rightarrow\:{A}=\mathrm{5},\:\:\mathrm{2}{A}+{B}=\mathrm{11},\:\:\mathrm{5}{A}+{C}=\mathrm{26} \\ $$$$\Rightarrow{B}=\mathrm{1},\:{C}=\mathrm{1} \\ $$$${I}=\mathrm{5}\int{dx}+\int\frac{{x}+\mathrm{1}}{{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{2}{x}+\mathrm{1}}{dx} \\ $$$$\:\:=\mathrm{5}{x}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathrm{ln}\:\left({x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{2}{x}+\mathrm{1}\right)+{c}\:. \\ $$