Question Number 22260 by Bruce Lee last updated on 14/Oct/17
$$\mathrm{8}^{\boldsymbol{{x}}−\mathrm{1}} +\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{4}}\boldsymbol{{x}}=\mathrm{1}\:\:\:\:\:\:\boldsymbol{{solve}}\:\boldsymbol{{for}}\:\boldsymbol{{x}} \\ $$$$\boldsymbol{{Any}}\:\boldsymbol{{idea}}? \\ $$
Answered by mrW1 last updated on 15/Oct/17
$$\mathrm{8}^{\mathrm{x}−\mathrm{1}} =\frac{\mathrm{4}−\mathrm{3x}}{\mathrm{4}} \\ $$$$\mathrm{2}^{\mathrm{3x}−\mathrm{3}} =−\frac{\mathrm{3x}−\mathrm{4}}{\mathrm{4}} \\ $$$$\mathrm{2}×\mathrm{2}^{\mathrm{3x}−\mathrm{4}} =−\frac{\mathrm{3x}−\mathrm{4}}{\mathrm{4}} \\ $$$$\mathrm{2}^{\mathrm{3x}−\mathrm{4}} =−\frac{\mathrm{3x}−\mathrm{4}}{\mathrm{8}} \\ $$$$\mathrm{let}\:\mathrm{t}=\mathrm{3x}−\mathrm{4} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{2}^{\mathrm{t}} =−\frac{\mathrm{t}}{\mathrm{8}} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{e}^{\mathrm{tln}\:\mathrm{2}} =−\frac{\mathrm{t}}{\mathrm{8}} \\ $$$$\Rightarrow\frac{−\mathrm{te}^{−\mathrm{tln}\:\mathrm{2}} }{\mathrm{8}}=\mathrm{1} \\ $$$$\Rightarrow\frac{−\mathrm{tln}\:\mathrm{2e}^{−\mathrm{tln}\:\mathrm{2}} }{\mathrm{8ln}\:\mathrm{2}}=\mathrm{1} \\ $$$$\Rightarrow\left(−\mathrm{tln}\:\mathrm{2}\right)\mathrm{e}^{\left(−\mathrm{tln}\:\mathrm{2}\right)} =\mathrm{8ln}\:\mathrm{2} \\ $$$$\Rightarrow−\mathrm{tln}\:\mathrm{2}=\mathrm{W}\left(\mathrm{8ln}\:\mathrm{2}\right) \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{t}=−\frac{\mathrm{W}\left(\mathrm{8ln}\:\mathrm{2}\right)}{\mathrm{ln}\:\mathrm{2}}=\mathrm{3x}−\mathrm{4} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{x}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}\left[\mathrm{4}−\frac{\mathrm{W}\left(\mathrm{8ln}\:\mathrm{2}\right)}{\mathrm{ln}\:\mathrm{2}}\right]=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}\left[\mathrm{4}−\mathrm{2}\right]=\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{3}} \\ $$$$ \\ $$$$\mathrm{this}\:\mathrm{method}\:\mathrm{works}\:\mathrm{for}\:\mathrm{any}\:\mathrm{other}\:\mathrm{values}: \\ $$$$\mathrm{a}^{\mathrm{x}−\mathrm{1}} +\mathrm{bx}=\mathrm{c} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{a}^{\mathrm{x}−\mathrm{1}} =−\mathrm{b}\left(\mathrm{x}−\frac{\mathrm{c}}{\mathrm{b}}\right) \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{a}^{\mathrm{x}−\frac{\mathrm{c}}{\mathrm{b}}+\frac{\mathrm{c}}{\mathrm{b}}−\mathrm{1}} =−\mathrm{b}\left(\mathrm{x}−\frac{\mathrm{c}}{\mathrm{b}}\right) \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{a}^{\frac{\mathrm{c}}{\mathrm{b}}−\mathrm{1}} ×\mathrm{a}^{\mathrm{x}−\frac{\mathrm{c}}{\mathrm{b}}} =−\mathrm{b}\left(\mathrm{x}−\frac{\mathrm{c}}{\mathrm{b}}\right) \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{a}^{\frac{\mathrm{c}}{\mathrm{b}}−\mathrm{1}} ×\mathrm{e}^{\left(\mathrm{x}−\frac{\mathrm{c}}{\mathrm{b}}\right)\mathrm{ln}\:\mathrm{a}} =−\mathrm{b}\left(\mathrm{x}−\frac{\mathrm{c}}{\mathrm{b}}\right) \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{a}^{\frac{\mathrm{c}}{\mathrm{b}}−\mathrm{1}} =−\mathrm{b}\left(\mathrm{x}−\frac{\mathrm{c}}{\mathrm{b}}\right)\mathrm{e}^{−\left(\mathrm{x}−\frac{\mathrm{c}}{\mathrm{b}}\right)\mathrm{ln}\:\mathrm{a}} \\ $$$$\Rightarrow\frac{\mathrm{a}^{\frac{\mathrm{c}}{\mathrm{b}}−\mathrm{1}} \:\mathrm{ln}\:\mathrm{a}}{\mathrm{b}}=\left[−\left(\mathrm{x}−\frac{\mathrm{c}}{\mathrm{b}}\right)\mathrm{ln}\:\mathrm{a}\right]\mathrm{e}^{−\left(\mathrm{x}−\frac{\mathrm{c}}{\mathrm{b}}\right)\mathrm{ln}\:\mathrm{a}} \\ $$$$\Rightarrow−\left(\mathrm{x}−\frac{\mathrm{c}}{\mathrm{b}}\right)\mathrm{ln}\:\mathrm{a}=\mathbb{W}\left(\frac{\mathrm{a}^{\frac{\mathrm{c}}{\mathrm{b}}−\mathrm{1}} \:\mathrm{ln}\:\mathrm{a}}{\mathrm{b}}\right) \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{x}=\frac{\mathrm{c}}{\mathrm{b}}−\frac{\mathbb{W}\left(\frac{\mathrm{a}^{\frac{\mathrm{c}}{\mathrm{b}}−\mathrm{1}} \:\mathrm{ln}\:\mathrm{a}}{\mathrm{b}}\right)}{\mathrm{ln}\:\mathrm{a}} \\ $$
Answered by mrW1 last updated on 15/Oct/17
$$\mathrm{8}^{\mathrm{x}−\mathrm{1}} +\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{4}}\mathrm{x}=\mathrm{1} \\ $$$$\Rightarrow\frac{\mathrm{8}^{\mathrm{x}} }{\mathrm{8}}+\frac{\mathrm{3x}}{\mathrm{4}}= \\ $$$$\Rightarrow\frac{\mathrm{2}^{\mathrm{3x}} }{\mathrm{8}}+\frac{\mathrm{3x}}{\mathrm{4}}=\mathrm{1} \\ $$$$\mathrm{try}\:\mathrm{with}\:\mathrm{3x}=\mathrm{2} \\ $$$$\frac{\mathrm{2}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{8}}+\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{4}}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}=\:\mathrm{1}\:\Rightarrow\mathrm{ok} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{3x}=\mathrm{2}\:\mathrm{is}\:\mathrm{correct} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{x}=\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{3}} \\ $$$$ \\ $$$$\mathrm{this}\:\mathrm{method}\:\mathrm{works}\:\mathrm{only}\:\mathrm{in}\:\mathrm{very} \\ $$$$\mathrm{special}\:\mathrm{cases}. \\ $$