Question Number 128030 by Agnibhoo last updated on 03/Jan/21
$$\:\mathrm{99}\:×\:\mathrm{99}\:=\:\mathrm{9801} \\ $$$$\:\mathrm{999}\:×\:\mathrm{999}\:=\:\mathrm{998001} \\ $$$$\:\mathrm{9999}\:×\:\mathrm{9999}\:=\:\mathrm{99980001} \\ $$$$\:\mathrm{99999}\:×\:\mathrm{99999}\:=\:? \\ $$$$\:\mathrm{999999}\:×\:\mathrm{999999}\:=\:? \\ $$
Answered by Geovanek last updated on 03/Jan/21
$$\mathrm{99}\:=\:\mathrm{100}\:−\:\mathrm{1}\:=\:\mathrm{10}^{\mathrm{2}} \:−\:\mathrm{1} \\ $$$$\mathrm{999}\:=\:\mathrm{1000}\:−\:\mathrm{1}\:=\:\mathrm{10}^{\mathrm{3}} \:−\:\mathrm{1} \\ $$$$\mathrm{99}…\mathrm{99}\:\left({n}\:\mathrm{nines}\right)\:=\:\mathrm{10}^{{n}} \:−\:\mathrm{1} \\ $$$$\mathrm{So},\:\mathrm{we}\:\mathrm{have} \\ $$$$\left(\mathrm{99}…\mathrm{99}\right)^{\mathrm{2}} \:=\:\left(\mathrm{10}^{{n}} \:−\:\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} \\ $$$$=\:\mathrm{10}^{\mathrm{2}{n}} \:−\:\mathrm{2}\centerdot\mathrm{10}^{{n}} \:+\:\mathrm{1} \\ $$$$\mathrm{For}\:{n}\:=\:\mathrm{5},\:\mathrm{we}\:\mathrm{have} \\ $$$$\mathrm{99999}^{\mathrm{2}} \:=\:\mathrm{10}^{\mathrm{10}} \:−\:\mathrm{2}\centerdot\mathrm{10}^{\mathrm{5}} \:+\:\mathrm{1} \\ $$$$\mathrm{99999}^{\mathrm{2}} \:=\:\mathrm{10000000000}\:−\:\mathrm{200000}\:+\:\mathrm{1} \\ $$$$\mathrm{99999}^{\mathrm{2}} \:=\:\mathrm{9999800001} \\ $$$$\mathrm{For}\:{n}\:=\:\mathrm{6},\:\mathrm{we}\:\mathrm{have} \\ $$$$\mathrm{999999}^{\mathrm{2}} \:=\:\mathrm{999998000001} \\ $$$$\mathrm{You}\:\mathrm{put}\:{n}\:−\:\mathrm{1}\:“\mathrm{nines}''\:\mathrm{and}\:{n}\:−\:\mathrm{1}\:“\mathrm{zeros}''. \\ $$