Question Number 179518 by mathlove last updated on 30/Oct/22
$${a}−\frac{\mathrm{1}}{{b}}=\mathrm{2}{cos}\frac{\mathrm{2}\pi}{\mathrm{13}} \\ $$$${b}−\frac{\mathrm{1}}{{c}}=\mathrm{2}{cos}\frac{\mathrm{6}\pi}{\mathrm{13}} \\ $$$${c}−\frac{\mathrm{1}}{{a}}=\mathrm{2}{cos}\frac{\mathrm{8}\pi}{\mathrm{13}}\:\:\:\:\:\:{prove}\:{that} \\ $$$$\left({abc}\right)^{\mathrm{5}} −\frac{\mathrm{1}}{\left({abc}\right)^{\mathrm{5}} }=\mathrm{11} \\ $$
Commented by mr W last updated on 30/Oct/22
$${let}\:{k}={abc} \\ $$$${we}\:{get} \\ $$$${k}−\frac{\mathrm{1}}{{k}}=\mathrm{1}\:\:\:\:^{\left.\ast\right)\:{see}\:{later}} \\ $$$$\left({k}−\frac{\mathrm{1}}{{k}}\right)^{\mathrm{2}} ={k}^{\mathrm{2}} +\frac{\mathrm{1}}{{k}^{\mathrm{2}} }−\mathrm{2}=\mathrm{1} \\ $$$$\Rightarrow{k}^{\mathrm{2}} +\frac{\mathrm{1}}{{k}^{\mathrm{2}} }=\mathrm{3} \\ $$$$\left({k}−\frac{\mathrm{1}}{{k}}\right)^{\mathrm{3}} ={k}^{\mathrm{3}} −\frac{\mathrm{1}}{{k}^{\mathrm{3}} }−\mathrm{3}\left({k}−\frac{\mathrm{1}}{{k}}\right)={k}^{\mathrm{3}} −\frac{\mathrm{1}}{{k}^{\mathrm{3}} }−\mathrm{3}=\mathrm{1} \\ $$$$\Rightarrow{k}^{\mathrm{3}} −\frac{\mathrm{1}}{{k}^{\mathrm{3}} }=\mathrm{4} \\ $$$$\left({k}^{\mathrm{3}} −\frac{\mathrm{1}}{{k}^{\mathrm{3}} }\right)\left({k}^{\mathrm{2}} +\frac{\mathrm{1}}{{k}^{\mathrm{2}} }\right)=\mathrm{4}×\mathrm{3} \\ $$$${k}^{\mathrm{5}} −\frac{\mathrm{1}}{{k}^{\mathrm{5}} }+{k}−\frac{\mathrm{1}}{{k}}=\mathrm{4}×\mathrm{3} \\ $$$$\Rightarrow{k}^{\mathrm{5}} −\frac{\mathrm{1}}{{k}^{\mathrm{5}} }=\mathrm{4}×\mathrm{3}−\mathrm{1}=\mathrm{11}\:\checkmark \\ $$
Commented by mathlove last updated on 30/Oct/22
$${thanks}\:{mr} \\ $$