Question Number 16807 by sushmitak last updated on 26/Jun/17
$$\left({a}+\mathrm{2}\right)\mathrm{sin}\:\alpha+\left(\mathrm{2}{a}−\mathrm{1}\right)\mathrm{cos}\:\alpha=\left(\mathrm{2}{a}+\mathrm{1}\right) \\ $$$$\mathrm{then}\:\mathrm{tan}\:\alpha=? \\ $$
Commented by prakash jain last updated on 26/Jun/17
$$\mathrm{tan}\:\frac{\alpha}{\mathrm{2}}={u},\mathrm{sin}\:\alpha=\frac{\mathrm{2}{u}}{\mathrm{1}+{u}^{\mathrm{2}} },\mathrm{cos}\:\alpha=\frac{\mathrm{1}−{u}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{1}+{u}^{\mathrm{2}} } \\ $$$$\mathrm{2}\left({a}+\mathrm{2}\right){u}+\left(\mathrm{2}{a}−\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{1}−{u}^{\mathrm{2}} \right)=\left(\mathrm{2}{a}+\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{1}+{u}^{\mathrm{2}} \right) \\ $$$$\mathrm{4}{au}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2}\left({a}+\mathrm{2}\right){u}+\mathrm{2}=\mathrm{0} \\ $$$$\mathrm{2}{au}^{\mathrm{2}} −\left({a}+\mathrm{2}\right){u}+\mathrm{1}=\mathrm{0} \\ $$$$\mathrm{2}{au}^{\mathrm{2}} −{au}−\mathrm{2}{u}+\mathrm{1}=\mathrm{0} \\ $$$${au}\left(\mathrm{2}{u}−\mathrm{1}\right)−\left(\mathrm{2}{u}−\mathrm{1}\right)=\mathrm{0} \\ $$$$\left(\mathrm{2}{u}−\mathrm{1}\right)\left({au}−\mathrm{1}\right)=\mathrm{0} \\ $$$${u}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}},{u}=\frac{\mathrm{1}}{{a}} \\ $$$$\mathrm{tan}\:\alpha=\frac{\mathrm{2}{u}}{\mathrm{1}−{u}^{\mathrm{2}} }=\frac{\mathrm{4}}{\mathrm{3}} \\ $$$$\mathrm{tan}\:\alpha=\frac{\mathrm{2}{a}}{{a}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}} \\ $$
Answered by ajfour last updated on 26/Jun/17
$$\:\left(\mathrm{a}+\mathrm{2}\right)\mathrm{sin}\:\alpha=\:\left(\mathrm{1}+\mathrm{cos}\:\alpha\right)+\mathrm{2a}\left(\mathrm{1}−\mathrm{cos}\:\alpha\right) \\ $$$$\mathrm{2}\left(\mathrm{a}+\mathrm{2}\right)\mathrm{sin}\:\left(\alpha/\mathrm{2}\right)\mathrm{cos}\:\left(\alpha/\mathrm{2}\right) \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:=\:\mathrm{2cos}\:^{\mathrm{2}} \left(\alpha/\mathrm{2}\right)+\mathrm{4asin}\:^{\mathrm{2}} \left(\alpha/\mathrm{2}\right) \\ $$$$\:\mathrm{dividing}\:\mathrm{by}\:\mathrm{2cos}\:^{\mathrm{2}} \left(\alpha/\mathrm{2}\right): \\ $$$$\:\left(\mathrm{a}+\mathrm{2}\right)\mathrm{tan}\:\left(\alpha/\mathrm{2}\right)=\mathrm{1}+\mathrm{2a}\:\mathrm{tan}\:^{\mathrm{2}} \left(\alpha/\mathrm{2}\right) \\ $$$$\:\mathrm{2atan}\:^{\mathrm{2}} \left(\alpha/\mathrm{2}\right)−\left(\mathrm{a}+\mathrm{2}\right)\mathrm{tan}\:\left(\alpha/\mathrm{2}\right)+\mathrm{1}=\mathrm{0} \\ $$$$\Rightarrow\:\mathrm{atan}\:\left(\alpha/\mathrm{2}\right)\left[\mathrm{2tan}\:\left(\alpha/\mathrm{2}\right)−\mathrm{1}\right] \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:−\left[\mathrm{2tan}\:\left(\alpha/\mathrm{2}\right)−\mathrm{1}\right]=\mathrm{0} \\ $$$$\:\left[\mathrm{2tan}\:\left(\alpha/\mathrm{2}\right)−\mathrm{1}\right]\left[\mathrm{atan}\:\left(\alpha/\mathrm{2}\right)−\mathrm{1}\right]=\mathrm{0} \\ $$$$\Rightarrow\:\:\mathrm{tan}\:\left(\alpha/\mathrm{2}\right)=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}},\:\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{a}} \\ $$$$\:\mathrm{As}\:\:\:\mathrm{tan}\:\alpha=\frac{\mathrm{2tan}\:\alpha}{\mathrm{1}−\mathrm{tan}\:^{\mathrm{2}} \alpha} \\ $$$$\:\:\mathrm{tan}\:\alpha\:=\:\frac{\mathrm{2}\left(\mathrm{1}/\mathrm{2}\right)}{\mathrm{1}−\left(\mathrm{1}/\mathrm{4}\right)}\:=\:\frac{\mathrm{4}}{\mathrm{3}} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{or} \\ $$$$\:\mathrm{tan}\:\alpha\:=\:\frac{\mathrm{2}\left(\mathrm{1}/\mathrm{a}\right)}{\mathrm{1}−\left(\mathrm{1}/\mathrm{a}\right)^{\mathrm{2}} }\:=\:\frac{\mathrm{2a}}{\mathrm{a}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}}\:. \\ $$$$ \\ $$