Question Number 122397 by Ar Brandon last updated on 16/Nov/20
$$\mathrm{a}\backslash\int\frac{\mathrm{2x}+\mathrm{1}}{\mathrm{1}+\mathrm{x}}\sqrt{\frac{\mathrm{1}−\mathrm{x}}{\mathrm{1}+\mathrm{x}}}\mathrm{dx}\:\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{c}\backslash\int\frac{\mathrm{dx}}{\:\sqrt{\mathrm{x}}+\sqrt[{\mathrm{3}}]{\mathrm{x}}} \\ $$$$\mathrm{b}\backslash\int\frac{\mathrm{dx}}{\mathrm{x}+\sqrt{\mathrm{x}−\mathrm{1}}}\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{d}\backslash\int\frac{\mathrm{dx}}{\:\left(\mathrm{1}+\mathrm{x}\right)\sqrt{\mathrm{1}+\mathrm{x}+\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }} \\ $$
Answered by Dwaipayan Shikari last updated on 16/Nov/20
$$\int\frac{{dx}}{{x}+\sqrt{{x}−\mathrm{1}}} \\ $$$$=\int{x}−\sqrt{{x}−\mathrm{1}}\:{dx} \\ $$$$=\frac{{x}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{2}}−\frac{\mathrm{2}\left({x}−\mathrm{1}\right)^{\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{2}}} }{\mathrm{3}}+{C} \\ $$
Answered by Dwaipayan Shikari last updated on 16/Nov/20
$$\int\frac{{dx}}{\:\sqrt[{\mathrm{3}}]{{x}}\:\left(\mathrm{1}+\sqrt[{\mathrm{6}}]{{x}}\right)}\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:{x}={t}^{\mathrm{6}} \Rightarrow\mathrm{1}=\mathrm{6}{t}^{\mathrm{5}} \frac{{dt}}{{dx}} \\ $$$$=\int\frac{\mathrm{6}{t}^{\mathrm{5}} }{{t}^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{1}+{t}\right)}{dt}=\mathrm{6}\int{t}^{\mathrm{2}} −{t}+\mathrm{1}−\frac{\mathrm{1}}{{t}+\mathrm{1}}{dt}=\mathrm{2}{t}^{\mathrm{3}} −\mathrm{3}{t}^{\mathrm{2}} +\mathrm{6}{t}−\mathrm{6}{log}\left(\mathrm{1}+{t}\right)+{C} \\ $$$$=\mathrm{2}\sqrt{{x}}−\mathrm{3}\sqrt[{\mathrm{3}}]{{x}}\:+\mathrm{6}\sqrt[{\mathrm{6}}]{{x}}−\mathrm{6}{log}\left(\mathrm{1}+\sqrt[{\mathrm{6}}]{{x}}\right)+{C} \\ $$
Answered by Dwaipayan Shikari last updated on 16/Nov/20
$$\int\left(\mathrm{2}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}+{x}}\right)\sqrt{\frac{\mathrm{1}−{x}}{\mathrm{1}+{x}}}\:{dx} \\ $$$$=\mathrm{2}\int\frac{\mathrm{1}−{x}}{\:\sqrt{\mathrm{1}−{x}^{\mathrm{2}} }}{dx}−\int\frac{\mathrm{1}−{x}}{\left(\mathrm{1}+{x}\right)\sqrt{\mathrm{1}−{x}^{\mathrm{2}} }}{dx} \\ $$$$=\mathrm{2}{sin}^{−\mathrm{1}} {x}+\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{1}−{x}^{\mathrm{2}} }+\int\frac{{x}+\mathrm{1}−\mathrm{2}}{\left({x}+\mathrm{1}\right)\left(\sqrt{\mathrm{1}−{x}^{\mathrm{2}} }\right)}{dx} \\ $$$$=\mathrm{2}{sin}^{−\mathrm{1}} {x}+\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{1}−{x}^{\mathrm{2}} }+{sin}^{−\mathrm{1}} {x}−\mathrm{2}\int\frac{\mathrm{1}}{\left({x}+\mathrm{1}\right)\sqrt{\mathrm{1}−{x}^{\mathrm{2}} }}{dx}\:\:\left({x}+\mathrm{1}\right)={t} \\ $$$$=\mathrm{3}{sin}^{−\mathrm{1}} {x}+\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{1}−{x}^{\mathrm{2}} }−\mathrm{2}\int\frac{\mathrm{1}}{{t}\sqrt{\mathrm{2}{t}−{t}^{\mathrm{2}} }}{dt} \\ $$$$=\mathrm{3}{sin}^{−\mathrm{1}} {x}+\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{1}−{x}^{\mathrm{2}} }+\int\frac{−\frac{\mathrm{2}}{{t}^{\mathrm{2}} }}{\:\sqrt{\frac{\mathrm{2}}{{t}}−\mathrm{1}}}{dt} \\ $$$$=\mathrm{3}{sin}^{−\mathrm{1}} {x}+\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{1}−{x}^{\mathrm{2}} }+\mathrm{2}\sqrt{\frac{\mathrm{2}}{{t}}−\mathrm{1}}\: \\ $$$$=\mathrm{3}{sin}^{−\mathrm{1}} {x}+\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{1}−{x}^{\mathrm{2}} }+\mathrm{2}\sqrt{\frac{\mathrm{1}−{x}}{\mathrm{1}+{x}}}\:+{C} \\ $$
Commented by Ar Brandon last updated on 16/Nov/20
Nice path. Thanks
Answered by MJS_new last updated on 17/Nov/20
$$\int\frac{\mathrm{2}{x}+\mathrm{1}}{\mathrm{1}+{x}}\sqrt{\frac{\mathrm{1}−{x}}{\mathrm{1}+{x}}}{dx}= \\ $$$$\:\:\:\:\:\left[{t}=\sqrt{\frac{\mathrm{1}−{x}}{\mathrm{1}+{x}}}\:\rightarrow\:{dx}=−\sqrt{\mathrm{1}−{x}}\left(\mathrm{1}+{x}\right)^{\mathrm{3}/\mathrm{2}} {dt}\right] \\ $$$$=\mathrm{2}\int\frac{{t}^{\mathrm{2}} \left({t}^{\mathrm{2}} −\mathrm{3}\right)}{\left({t}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }{dt}= \\ $$$$\:\:\:\:\:\left[\mathrm{Ostrogradski}'\mathrm{s}\:\mathrm{Method}\right] \\ $$$$=\frac{\mathrm{2}{t}\left({t}^{\mathrm{2}} +\mathrm{3}\right)}{{t}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}}−\mathrm{6}\int\frac{{dt}}{{t}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}}= \\ $$$$=\frac{\mathrm{2}{t}\left({t}^{\mathrm{2}} +\mathrm{3}\right)}{{t}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}}−\mathrm{6arctan}\:{t}\:= \\ $$$$=\mathrm{2}\left({x}+\mathrm{2}\right)\sqrt{\frac{\mathrm{1}−{x}}{\mathrm{1}+{x}}}−\mathrm{6arctan}\:\sqrt{\frac{\mathrm{1}−{x}}{\mathrm{1}+{x}}}\:+{C} \\ $$$$ \\ $$$$\int\frac{{dx}}{{x}+\sqrt{{x}−\mathrm{1}}}= \\ $$$$\:\:\:\:\:\left[{t}=\sqrt{{x}−\mathrm{1}}\:\rightarrow\:{dx}=\mathrm{2}{tdt}\right] \\ $$$$=\mathrm{2}\int\frac{{t}}{{t}^{\mathrm{2}} +{t}+\mathrm{1}}{dt}=\int\left(\frac{\mathrm{2}{t}+\mathrm{1}}{{t}^{\mathrm{2}} +{t}+\mathrm{1}}−\frac{\mathrm{1}}{{t}^{\mathrm{2}} +{t}+\mathrm{1}}\right){dt}= \\ $$$$=\mathrm{ln}\:\left({t}^{\mathrm{2}} +{t}+\mathrm{1}\right)\:−\frac{\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{3}}\mathrm{arctan}\:\frac{\left(\mathrm{2}{t}+\mathrm{1}\right)\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{3}}\:= \\ $$$$=\mathrm{ln}\:\left({x}+\sqrt{{x}−\mathrm{1}}\right)\:−\frac{\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{3}}\mathrm{arctan}\:\frac{\left(\mathrm{1}+\mathrm{2}\sqrt{{x}−\mathrm{1}}\right)\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{3}}\:+{C} \\ $$$$ \\ $$$$\int\frac{{dx}}{\:\sqrt{{x}}+\sqrt[{\mathrm{3}}]{{x}}}=\int\frac{{dx}}{{x}^{\mathrm{1}/\mathrm{3}} \left({x}^{\mathrm{1}/\mathrm{6}} +\mathrm{1}\right)}= \\ $$$$\:\:\:\:\:\left[{t}={x}^{\mathrm{1}/\mathrm{6}} \:\rightarrow\:{dx}=\mathrm{6}{x}^{\mathrm{5}/\mathrm{6}} {dt}\right] \\ $$$$=\mathrm{6}\int\frac{{t}^{\mathrm{3}} }{{t}+\mathrm{1}}{dt}=\mathrm{6}\int\left({t}^{\mathrm{2}} −{t}+\mathrm{1}−\frac{\mathrm{1}}{{t}+\mathrm{1}}\right){dt}= \\ $$$$=\mathrm{2}{t}^{\mathrm{3}} −\mathrm{3}{t}^{\mathrm{2}} +\mathrm{6}{t}−\mathrm{6ln}\:\left({t}+\mathrm{1}\right)\:= \\ $$$$=\mathrm{2}{x}^{\mathrm{1}/\mathrm{2}} −\mathrm{3}{x}^{\mathrm{1}/\mathrm{3}} +\mathrm{6}{x}^{\mathrm{1}/\mathrm{6}} −\mathrm{6ln}\:\left({x}^{\mathrm{1}/\mathrm{6}} +\mathrm{1}\right)\:+{C} \\ $$$$ \\ $$$$\int\frac{{dx}}{\left(\mathrm{1}+{x}\right)\sqrt{\mathrm{1}+{x}+{x}^{\mathrm{2}} }}= \\ $$$$\:\:\:\:\:\left[{t}=\frac{\mathrm{2}{x}+\mathrm{1}+\mathrm{2}\sqrt{{x}^{\mathrm{2}} +{x}+\mathrm{1}}}{\:\sqrt{\mathrm{3}}}\:\rightarrow\:{dx}=\frac{\sqrt{\mathrm{3}\left({x}^{\mathrm{2}} +{x}+\mathrm{1}\right)}}{\mathrm{2}{x}+\mathrm{1}+\sqrt{{x}^{\mathrm{2}} +{x}+\mathrm{1}}}{dt}\right] \\ $$$$=\mathrm{4}\sqrt{\mathrm{3}}\int\frac{{dt}}{\mathrm{3}{t}^{\mathrm{2}} +\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{3}}{t}−\mathrm{3}}= \\ $$$$=\int\left(\frac{\mathrm{1}}{{t}−\frac{\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{3}}}−\frac{\mathrm{1}}{{t}+\sqrt{\mathrm{3}}}\right){dt}= \\ $$$$=\mathrm{ln}\:\frac{{t}−\frac{\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{3}}}{{t}+\sqrt{\mathrm{3}}}\:=\mathrm{ln}\:\frac{{x}−\mathrm{1}+\mathrm{2}\sqrt{{x}^{\mathrm{2}} +{x}+\mathrm{1}}}{{x}+\mathrm{1}}\:+{C} \\ $$