Question Number 191486 by MATHEMATICSAM last updated on 24/Apr/23
$${a}\sqrt{{a}}\:+\:{b}\sqrt{{b}}\:=\:\mathrm{183}\:\mathrm{and}\:{b}\sqrt{{a}}\:+\:{a}\sqrt{{b}}\:=\:\mathrm{182} \\ $$$$\mathrm{What}\:\mathrm{is}\:\mathrm{the}\:\mathrm{value}\:\mathrm{of}\:\frac{\mathrm{9}}{\mathrm{5}}\:\left({a}\:+\:{b}\right)\:? \\ $$
Answered by mr W last updated on 24/Apr/23
$${let}\:{A}=\sqrt{{a}} \\ $$$${B}=\sqrt{{b}} \\ $$$${AB}^{\mathrm{2}} +{A}^{\mathrm{2}} {B}=\mathrm{182} \\ $$$$\Rightarrow{AB}\left({A}+{B}\right)=\mathrm{182} \\ $$$${A}^{\mathrm{3}} +{B}^{\mathrm{3}} =\mathrm{183} \\ $$$$\left({A}+{B}\right)^{\mathrm{3}} −\mathrm{3}{AB}\left({A}+{B}\right)=\mathrm{183} \\ $$$$\left({A}+{B}\right)^{\mathrm{3}} −\mathrm{3}×\mathrm{182}=\mathrm{183} \\ $$$$\Rightarrow{A}+{B}=\sqrt[{\mathrm{3}}]{\mathrm{183}+\mathrm{3}×\mathrm{182}}=\mathrm{9} \\ $$$${a}+{b}={A}^{\mathrm{2}} +{B}^{\mathrm{2}} =\left({A}+{B}\right)^{\mathrm{2}} −\mathrm{2}{AB} \\ $$$$\:\:\:\:=\mathrm{9}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2}×\frac{\mathrm{182}}{\mathrm{9}}=\frac{\mathrm{365}}{\mathrm{9}} \\ $$$$\frac{\mathrm{9}}{\mathrm{5}}\left({a}+{b}\right)=\frac{\mathrm{9}}{\mathrm{5}}×\frac{\mathrm{365}}{\mathrm{9}}=\mathrm{73} \\ $$
Commented by mehdee42 last updated on 24/Apr/23
$${that}\:{was}\:{perfect} \\ $$