Question Number 157701 by MathSh last updated on 26/Oct/21
$$\mathrm{a};\mathrm{b};\mathrm{c}\in\mathbb{N} \\ $$$$\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{a}\:+\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{b}\:+\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{c}}}}\:=\:\frac{\mathrm{16}}{\mathrm{37}}\:\:\:\Rightarrow\:\:\:\mathrm{a}+\mathrm{b}+\mathrm{c}=? \\ $$
Answered by mindispower last updated on 26/Oct/21
$$\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}+\frac{\mathrm{5}}{\mathrm{16}}}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{5}}}} \\ $$
Commented by MathSh last updated on 26/Oct/21
$$\mathrm{thank}\:\mathrm{you}\:\mathrm{so}\:\mathrm{much}\:\mathrm{dear}\:\boldsymbol{\mathrm{S}}\mathrm{er}\:\mathrm{very}\:\mathrm{nice} \\ $$
Answered by Rasheed.Sindhi last updated on 26/Oct/21
$$\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{a}\:+\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{b}\:+\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{c}}}}\:=\:\frac{\mathrm{16}}{\mathrm{37}};\mathrm{a},\mathrm{b},{c}\in\mathbb{N}\:\Rightarrow\mathrm{a}+\mathrm{b}+\mathrm{c}=? \\ $$$$\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{a}\:+\:\frac{\mathrm{1}}{\:\frac{\mathrm{bc}+\mathrm{1}}{\mathrm{c}}}}\:=\:\frac{\mathrm{16}}{\mathrm{37}} \\ $$$$\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{a}\:+\:\frac{\mathrm{c}}{\:\mathrm{bc}+\mathrm{1}}}\:=\:\frac{\mathrm{16}}{\mathrm{37}} \\ $$$$\frac{\mathrm{1}}{\:\frac{\mathrm{abc}+\mathrm{a}+\mathrm{c}}{\:\mathrm{bc}+\mathrm{1}}}\:=\:\frac{\mathrm{16}}{\mathrm{37}} \\ $$$$\frac{\mathrm{bc}+\mathrm{1}}{\mathrm{a}\left(\mathrm{bc}+\mathrm{1}\right)+\mathrm{c}}=\frac{\mathrm{16}}{\mathrm{37}} \\ $$$$\mathrm{37}\left(\mathrm{bc}+\mathrm{1}\right)=\mathrm{16}\left(\:\mathrm{a}\left(\mathrm{bc}+\mathrm{1}\right)+\mathrm{c}\:\right) \\ $$$$\mathrm{16}\mid\left(\mathrm{bc}+\mathrm{1}\right)\Rightarrow\mathrm{bc}+\mathrm{1}=\mathrm{16},\mathrm{32},\mathrm{48},… \\ $$$$\mathrm{bc}+\mathrm{1}=\mathrm{16}\Rightarrow\mathrm{bc}=\mathrm{15}=\mathrm{3}×\mathrm{5} \\ $$$$\mathrm{37}\left(\mathrm{16}\right)=\mathrm{16}\left(\mathrm{16a}+\mathrm{5}\right) \\ $$$$\mathrm{16a}+\mathrm{5}=\mathrm{37}\Rightarrow\mathrm{a}=\mathrm{2} \\ $$$$\left(\mathrm{a},\mathrm{b},\mathrm{c}\right)=\left(\mathrm{2},\mathrm{3},\mathrm{5}\right)\:\left({One}\:{of}\:{the}\:{solutions}\right) \\ $$$${I}\:{think}\:{no}\:{other}\:{solution}. \\ $$
Commented by MathSh last updated on 26/Oct/21
$$\mathrm{thank}\:\mathrm{you}\:\mathrm{so}\:\mathrm{much}\:\mathrm{dear}\:\boldsymbol{\mathrm{S}}\mathrm{er}\:\mathrm{very}\:\mathrm{nice}\: \\ $$