Question Number 186590 by mustafazaheen last updated on 06/Feb/23
$$\mathrm{A}+\mathrm{B}=\frac{\pi}{\mathrm{4}}\:\:\:\:\:{find}\:{the}\:\left(\mathrm{1}+\mathrm{tan}{A}\right)\left(\mathrm{1}+\mathrm{tan}{B}\right)=?\: \\ $$$${with}\:{explanotory}\:{solution} \\ $$
Answered by mr W last updated on 06/Feb/23
$$\mathrm{tan}\:\left({A}+{B}\right)=\mathrm{tan}\:\frac{\pi}{\mathrm{4}}=\mathrm{1} \\ $$$$\frac{\mathrm{tan}\:{A}+\mathrm{tan}\:{B}}{\mathrm{1}−\mathrm{tan}\:{A}\:\mathrm{tan}\:{B}}=\mathrm{1} \\ $$$$\mathrm{tan}\:{A}+\mathrm{tan}\:{B}=\mathrm{1}−\mathrm{tan}\:{A}\:\mathrm{tan}\:{B} \\ $$$$\mathrm{1}+\mathrm{tan}\:{A}+\mathrm{tan}\:{B}+\mathrm{tan}\:{A}\:\mathrm{tan}\:{B}=\mathrm{2} \\ $$$$\mathrm{1}+\mathrm{tan}\:{A}+\left(\mathrm{1}+\mathrm{tan}\:{A}\right)\mathrm{tan}\:{B}=\mathrm{2} \\ $$$$\left(\mathrm{1}+\mathrm{tan}\:{A}\right)\left(\mathrm{1}+\mathrm{tan}\:{B}\right)=\mathrm{2}\:\checkmark \\ $$
Answered by Frix last updated on 06/Feb/23
$$\mathrm{1}+\mathrm{tan}\:{B}\:=\mathrm{1}+\frac{\mathrm{sin}\:{B}}{\mathrm{cos}\:{B}}=\mathrm{1}+\frac{\mathrm{sin}\:\left(\frac{\pi}{\mathrm{4}}−{A}\right)}{\mathrm{cos}\:\left(\frac{\pi}{\mathrm{4}}−{A}\right)}= \\ $$$$=\mathrm{1}+\frac{\frac{\mathrm{cos}\:{A}\:−\mathrm{sin}\:{A}}{\:\sqrt{\mathrm{2}}}}{\frac{\mathrm{cos}\:{A}\:+\mathrm{sin}\:{A}}{\:\sqrt{\mathrm{2}}}}=\mathrm{1}+\frac{\mathrm{cos}\:{A}\:−\mathrm{sin}\:{A}}{\mathrm{cos}\:{A}\:+\mathrm{sin}\:{A}}= \\ $$$$=\frac{\mathrm{2cos}\:{x}}{\mathrm{cos}\:{x}\:+\mathrm{sin}\:{x}}=\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{1}+\mathrm{tan}\:{A}} \\ $$$$\Rightarrow\:\mathrm{answer}\:\mathrm{is2} \\ $$
Answered by a.lgnaoui last updated on 06/Feb/23
$$\left(\mathrm{1}+\mathrm{tan}{A}\right)\left(\mathrm{1}+\mathrm{tan}{B}\right)=\boldsymbol{{P}} \\ $$$$\boldsymbol{{P}}=\mathrm{1}+\left(\mathrm{tan}{A}+\mathrm{tan}{B}\:\right)+\mathrm{tan}\:{A}×\mathrm{tan}{B} \\ $$$${we}\:{know}\:{that}\:\:\:\mathrm{tan}\:\left({A}+{B}\right)=\frac{\mathrm{tan}\:{A}+\mathrm{tan}\:{B}}{\mathrm{1}−\mathrm{tan}\:{A}×\mathrm{tan}{B}} \\ $$$$\mathrm{tan}{A}+\mathrm{tan}{B}=\mathrm{tan}\:\left({A}+{B}\right)\left[\mathrm{1}−\mathrm{tan}\:{A}×\mathrm{tan}\:{B}\right] \\ $$$$=\mathrm{1}−\mathrm{tan}\:{A}×\mathrm{tan}\:{B} \\ $$$$\boldsymbol{{P}}=\mathrm{1}+\mathrm{1}−\mathrm{tan}{A}×\mathrm{tan}{B}+\mathrm{tan}\:{A}×\mathrm{tan}\:{B}\:=\mathrm{2} \\ $$$$\:\:{donc} \\ $$$$\left(\mathrm{1}+\mathrm{tan}\:{A}\right)\left(\mathrm{1}+\mathrm{tan}\:{B}\right)=\mathrm{2} \\ $$$$\: \\ $$