Question Number 92820 by prince 5 last updated on 13/May/20
$${a}\:{convergent}\:{geometric}\:{sequence}\:{with} \\ $$$${first}\:{term}\:{a}\:{is}\:{such}\:{that}\:{the}\:{sum}\:{of} \\ $$$${the}\:{terms}\:{after}\:{the}\:{n}^{{th}} \:{term}\:{is} \\ $$$${three}\:{times}\:{the}\:{n}^{{th}} \:{term},\:{find}\:{the} \\ $$$${common}\:{ratio}\:{and}\:{show}\:{that}\:{its}\: \\ $$$${sum}\:{to}\:{infinity}\:{is}\:\mathrm{4}{a}. \\ $$
Answered by prakash jain last updated on 12/May/20
$$\mathrm{For}\:\mathrm{a}\:\mathrm{geometric}\:\mathrm{seres}\: \\ $$$$\mathrm{fisrt}\:\mathrm{term}\:{a} \\ $$$$\mathrm{common}\:\mathrm{ratio}\:{r} \\ $$$${n}^{{th}} \:\mathrm{term}={ar}^{{n}−\mathrm{1}} \\ $$$$\mathrm{sum}=\frac{{a}}{\mathrm{1}−{r}}\:\:\:\left(\mid{r}\mid<\mathrm{1}\:\mathrm{for}\:\mathrm{covergence}\right) \\ $$$$\mathrm{sum}\:\mathrm{after}\:{n}^{{th}} \:\mathrm{term}\:\mathrm{is}\:\mathrm{same}\:\mathrm{as} \\ $$$$\mathrm{geometric}\:\mathrm{series}\:\mathrm{with}\:\mathrm{first}\:\mathrm{term} \\ $$$$\mathrm{as}\:\left(\mathrm{n}+\mathrm{1}\right)\mathrm{th}\:\mathrm{term}\:\mathrm{and}\:\mathrm{common}\:\mathrm{ratio}\:{r}. \\ $$$$\frac{{ar}^{{n}} }{\mathrm{1}−{r}}=\mathrm{3}{ar}^{{n}−\mathrm{1}} \\ $$$$\frac{{r}}{\mathrm{1}−{r}}=\mathrm{3}\Rightarrow{r}=\mathrm{3}−\mathrm{3}{r}\Rightarrow{r}=\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{4}} \\ $$$$\mathrm{Sum}\:\mathrm{of}\:\mathrm{series}=\frac{{a}}{\mathrm{1}−{r}}=\mathrm{4}{a} \\ $$