A-function-f-is-such-that-f-R-R-where-f-xy-1-f-x-f-y-f-y-x-2-x-y-R-Find-value-of-10-f-2017-f-0-

Question Number 162116 by naka3546 last updated on 26/Dec/21

A f u n c t i o n f i s s u c h t h a t f : R \to R w h e r e

f (x y + 1) = f (x) \cdot f (y) - f (y) - x + 2, \forall x, y \in R .

F i n d v a l u e o f 10 \cdot f (2017) + f (0) .

Answered by Rasheed.Sindhi last updated on 27/Dec/21

f (x y + 1) = f (x) \cdot f (y) - f (y) - x + 2, \forall x, y \in R .

10 \cdot f (2017) + f (0) = ?

⌣⌢⌣⌢⌣⌢⌣⌢⌣⌢⌣⌢⌣⌢⌣⌢

∙ x = 0 : f (1) = f (0) . f (y) - f (y) + 2

f (1) - 2 = f (y) (f (0) - 1)

f (y) = \frac{f (1) - 2}{f (0) - 1}

\Rightarrow f (x) = \frac{f (1) - 2}{f (0) - 1} \dots \dots \dots \dots \dots . (i)

\Rightarrow f (x) i s c o n s t a n t

f (1) = \frac{f (1) - 2}{f (0) - 1} & f (0) = \frac{f (1) - 2}{f (0) - 1}

f (1) = f (0)

▸ f (0) = \frac{f (1) - 2}{f (0) - 1}

\Rightarrow f (0) = \frac{f (0) - 2}{f (0)} \Rightarrow f^{2} (0) - f (0) + 2 = 0

f (0) = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 8}}{2} = \frac{1 \pm i \sqrt{7}}{2}

▸ f (1) = \frac{f (1) - 2}{f (0) - 1} \Rightarrow f (0) = \frac{f (0) - 2}{f (0) - 1}

f^{2} (0) - f (0) = f (0) - 2

f^{2} (0) - 2 f (0) + 2 = 0

f (0) = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 8}}{2} = 1 \pm i

f (0) i s n o t u n i q u e . A l s o f (0) \notin R

∙ y = 0 : f (1) = f (x) . f (0) - f (0) - x + 2

f (x) = \frac{f (1) + f (0) + x - 2}{f (0)} \dots \dots . . (i i)

(i) & (i i) : \frac{f (1) - 2}{f (0) - 1} = \frac{f (1) + f (0) + x - 2}{f (0)}

f (1) . f (0) + f^{2} (0 + x f (0) - 2 f (0) - f (1) - f (0) - x + 2

= f (1) . f (0) - 2 f (0)

f^{2} (0 + x f (0) - f (1) - f (0) - x + 2 = 0

x (f (0) - 1) = f^{2} (0) - f (1) - f (0) + 2

x = \frac{f^{2} (0) - f (1) - f (0) + 2}{f (0) - 1}

x i s c o n s t a n t

x & f (x) b o t h a r e c o n s t a n t!!!

T {h e r e}^{'} s a p r o b l e m i n q u e s t i o n .

Commented by naka3546 last updated on 27/Dec/21

T h a n k y o u, s i r . M i g h t b e t h e q u e s t i o n i s n o t c o m p l e t e d .

Answered by Rasheed.Sindhi last updated on 27/Dec/21

f (x y + 1) = f (x) \cdot f (y) - f (y) - x + 2, \forall x, y \in R .

10 \cdot f (2017) + f (0) = ?

∙ x = 0 :

f (0 . y + 1) = f (0) \cdot f (y) - f (y) - 0 + 2

f (1) = f (0) \cdot f (y) - f (y) + 2

f (y) (f (0) - 1) = f (1) - 2

f (y) = \frac{f (1) - 2}{f (0) - 1}

f (x) = \frac{f (1) - 2}{f (0) - 1} \Rightarrow f (x) i s c o n s t a n t \dots (i)

f (0) = f (1) = f (3) = \dots f (2017)

∙ y = 0 :

f (x . 0 + 1) = f (x) \cdot f (0) - f (0) - x + 2

f (1) = f (x) \cdot f (0) - f (0) - x + 2

f (x) = \frac{f (1) + f (0) + x - 2}{f (0)} \Rightarrow f (x) i s n o t c o n s t a n t \dots (i i)

(i) & (i i) a r e c o n t r a d i c t o r y . I f t h e y

o c c u r s y m u l t a n e o u s l y, t h e n x i s

c o n s t a n t . T h a t m e a n s f (x) i s d e f i n e d

o n l y f o r a s i n g l e c o n s t a n t w h i c h

e v e n d o e s n o t e x i s t i t s e l f . W h i c h e x i s t

o n l y w h e n f (0) & f (1) e x i s t . B u t

f (0) & f (1) a r e n o t d e f i n e d b e c a u s e f (x)

i s d e f i n e d f o r a s i n g l e c o n s t a n t w h i c h

i s a g a i n d e p e n d a n t o n f (0) & f (1) \dots

Commented by mr W last updated on 28/Dec/21

i a l s o t h i n k t h e q u e s t i o n i s w r o n g o r

n o t c o m p l e t e l y e x p r e s s e d .

Commented by Rasheed.Sindhi last updated on 28/Dec/21

T han k s a lot \boldsymbol sir!

T han k s a lot sir!