Question Number 154549 by peter frank last updated on 19/Sep/21
$$\mathrm{A}\:\mathrm{particle}\:\mathrm{is}\:\mathrm{projected}\:\:\mathrm{with}\:\mathrm{velocity} \\ $$$$\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{gh}}\:\:\:\mathrm{so}\:\mathrm{that}\:\:\mathrm{it}\:\mathrm{just}\:\mathrm{clears}\:\mathrm{two} \\ $$$$\mathrm{walls}\:\mathrm{of}\:\mathrm{equal}\:\mathrm{heigh}\left(\mathrm{h}\right)\:\:\mathrm{in}\:\mathrm{the} \\ $$$$\mathrm{t}_{\mathrm{1}} \:\mathrm{and}\:\mathrm{t}_{\mathrm{2}\:} \:\mathrm{respectively}.\mathrm{The}\:\mathrm{two} \\ $$$$\mathrm{walls}\:\mathrm{are}\:\mathrm{at}\:\mathrm{a}\:\mathrm{distance}\:\mathrm{of}\:\:\mathrm{2h}\:\:\mathrm{from} \\ $$$$\mathrm{each}\:\mathrm{other}.\mathrm{If}\:\mathrm{time}\:\mathrm{passing}\: \\ $$$$\mathrm{between}\:\mathrm{the}\:\mathrm{two}\:\mathrm{walls}\:\mathrm{is}\:\mathrm{2}\sqrt{\frac{\mathrm{h}}{\mathrm{g}}} \\ $$$$\mathrm{show}\:\mathrm{that}\:\left(\mathrm{i}\right)\:\mathrm{angle}\:\mathrm{projected}\:\mathrm{60}^{°} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\left(\mathrm{ii}\right)\mathrm{t}_{\mathrm{1}} +\mathrm{t}_{\mathrm{2}} =\mathrm{2}\sqrt{\frac{\mathrm{3h}}{\mathrm{g}}} \\ $$$$ \\ $$
Commented by Tawa11 last updated on 21/Sep/21
$$\mathrm{nice}\:\mathrm{sir} \\ $$
Answered by ARUNG_Brandon_MBU last updated on 19/Sep/21
$$\left({i}\right)\mathrm{For}\:\mathrm{horizontal}\:\mathrm{motion}\:\mathrm{between}\:\mathrm{both}\:\mathrm{walls}; \\ $$$$\:{x}={v}_{{x}} {t}.\:\mathrm{But}\:{x}=\mathrm{2}{h},\:{v}_{{x}} =\mathrm{2}\sqrt{{gh}}\mathrm{cos}\vartheta,\:{t}=\mathrm{2}\sqrt{\frac{{h}}{{g}}} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{2}{h}=\left(\mathrm{2}\sqrt{{gh}}\mathrm{cos}\vartheta\right)\left(\mathrm{2}\sqrt{\frac{{h}}{{g}}}\right) \\ $$$$\Rightarrow\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}=\mathrm{cos}\vartheta\Rightarrow\vartheta=\mathrm{60}° \\ $$
Commented by peter frank last updated on 20/Sep/21
$$\mathrm{thanks} \\ $$
Answered by ARUNG_Brandon_MBU last updated on 19/Sep/21
$$\left({ii}\right)\:\mathrm{For}\:\mathrm{vertical}\:\mathrm{motion}: \\ $$$${y}={ut}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}{at}^{\mathrm{2}} ,\:{y}={h},\:{u}=\mathrm{2}\sqrt{{gh}}\mathrm{sin60}°=\sqrt{\mathrm{3}{gh}},\:{a}=−{g} \\ $$$$\Rightarrow{h}=\sqrt{\mathrm{3}{gh}}{t}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}{gt}^{\mathrm{2}} \Rightarrow{gt}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{3}{gh}}{t}+{h}=\mathrm{0} \\ $$$${t}=\frac{\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{3}{gh}}\pm\sqrt{\mathrm{12}{gh}−\mathrm{4}{gh}}}{\mathrm{2}{g}}=\frac{\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{3}{gh}}\pm\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{2}{gh}}}{\mathrm{2}{g}} \\ $$$${t}_{\mathrm{1}} =\sqrt{\frac{\mathrm{3}{h}}{{g}}}+\sqrt{\frac{\mathrm{2}{h}}{{g}}},\:{t}_{\mathrm{2}} =\sqrt{\frac{\mathrm{3}{h}}{{g}}}−\sqrt{\frac{\mathrm{2}{h}}{{g}}} \\ $$$${t}_{\mathrm{1}} +{t}_{\mathrm{2}} =\mathrm{2}\sqrt{\frac{\mathrm{3}{h}}{{g}}} \\ $$
Answered by peter frank last updated on 20/Sep/21
Answered by peter frank last updated on 20/Sep/21
$$\mathrm{x}−\mathrm{direction} \\ $$$$\mathrm{x}_{\mathrm{1}} =\mathrm{v}_{\mathrm{o}} \mathrm{cos}\:\theta\mathrm{t}_{\mathrm{1}} \\ $$$$\mathrm{x}_{\mathrm{2}} =\mathrm{v}_{\mathrm{o}} \mathrm{cos}\:\theta\mathrm{t}_{\mathrm{2}} \\ $$$$\mathrm{v}_{\mathrm{o}} =\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{gh}} \\ $$$$\mathrm{x}_{\mathrm{2}} −\mathrm{x}_{\mathrm{1}} =\mathrm{2h}\:\:\:\:\:\:\left(\mathrm{t}_{\mathrm{2}} −\mathrm{t}_{\mathrm{1}} \right)=\mathrm{2}\sqrt{\frac{\mathrm{h}}{\mathrm{g}}} \\ $$$$\mathrm{v}_{\mathrm{o}} \mathrm{cos}\:\theta\left(\mathrm{t}_{\mathrm{2}} −\mathrm{t}_{\mathrm{1}} \right)=\mathrm{2h} \\ $$$$\mathrm{cos}\theta=\frac{\mathrm{2h}}{\mathrm{v}_{\mathrm{o}} \left(\mathrm{t}_{\mathrm{2}} −\mathrm{t}_{\mathrm{1}} \right)}\:\:=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\:\:\: \\ $$$$\theta=\:\:\mathrm{cos}^{−\mathrm{1}} \frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}=\mathrm{60}^{°} \\ $$$$\mathrm{also}\:\:\mathrm{y}−\mathrm{direction} \\ $$$$\mathrm{y}=\mathrm{v}_{\mathrm{o}} \mathrm{sin}\:\theta\mathrm{t}_{\mathrm{1}} −\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathrm{gt}_{\mathrm{1}} ^{\mathrm{2}} \\ $$$$\mathrm{y}=\mathrm{v}_{\mathrm{o}} \mathrm{sin}\:\theta\mathrm{t}_{\mathrm{2}} −\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathrm{gt}_{\mathrm{2}} ^{\mathrm{2}} \\ $$$$\mathrm{v}_{\mathrm{o}} \mathrm{sin}\:\theta\mathrm{t}_{\mathrm{1}} −\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathrm{gt}_{\mathrm{1}} ^{\mathrm{2}} =\mathrm{v}_{\mathrm{o}} \mathrm{sin}\:\theta\mathrm{t}_{\mathrm{2}} −\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathrm{gt}_{\mathrm{2}} ^{\mathrm{2}} \\ $$$$\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{gh}}\:\mathrm{sin}\:\theta\left(\mathrm{t}_{\mathrm{2}} −\mathrm{t}_{\mathrm{1}} \right)=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathrm{g}\left(\mathrm{t}_{\mathrm{2}} ^{\mathrm{2}} −\mathrm{t}_{\mathrm{1}} ^{\mathrm{2}} \right) \\ $$$$\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{gh}}\:\mathrm{sin}\:\theta=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathrm{g}\left(\mathrm{t}_{\mathrm{2}} +\mathrm{t}_{\mathrm{1}} \right)\:\:\:\left[\theta=\mathrm{60}\right] \\ $$$$\mathrm{t}_{\mathrm{2}} +\mathrm{t}_{\mathrm{1}} =\frac{\mathrm{4}\sqrt{\mathrm{gh}}}{\mathrm{g}}.\frac{\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{2}}= \\ $$$$\mathrm{t}_{\mathrm{2}} +\mathrm{t}_{\mathrm{1}} =\mathrm{2}\sqrt{\frac{\mathrm{3h}}{\mathrm{g}}\:}\: \\ $$$$ \\ $$$$ \\ $$