A-plank-of-mass-10-kg-rests-on-a-smooth-horizontal-surface-Two-blocks-A-and-B-of-masses-m-A-2-kg-and-m-B-1-kg-lies-at-a-distance-of-3-m-on-the-plank-The-friction-coefficient-between-the-blocks

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Question Number 21793 by Tinkutara last updated on 04/Oct/17

$$\mathrm{A}\mathrm{plank}\mathrm{of}\mathrm{mass}10\mathrm{kg}\mathrm{rests}\mathrm{on}\mathrm{a}\mathrm{smooth}$$$$\mathrm{horizontal}\mathrm{surface}.\mathrm{Two}\mathrm{blocks}\mathrm{A}\mathrm{and}$$$$\mathrm{B}\mathrm{of}\mathrm{masses}{\mathrm{m}}_{\mathrm{A}}=2\mathrm{kg}\mathrm{and}{\mathrm{m}}_{\mathrm{B}}=1\mathrm{kg}$$$$\mathrm{lies}\mathrm{at}\mathrm{a}\mathrm{distance}\mathrm{of}3\mathrm{m}\mathrm{on}\mathrm{the}\mathrm{plank}.$$$$\mathrm{The}\mathrm{friction}\mathrm{coefficient}\mathrm{between}\mathrm{the}$$$$\mathrm{blocks}\mathrm{and}\mathrm{plank}\mathrm{are}{\mu }_{\mathrm{A}}=0.3\mathrm{and}{\mu }_{\mathrm{B}}=$$$$0.1.\mathrm{Now}\mathrm{a}\mathrm{force}\mathrm{F}=15\mathrm{N}\mathrm{is}\mathrm{applied}\mathrm{to}$$$$\mathrm{the}\mathrm{plank}\mathrm{in}\mathrm{horizontal}\mathrm{direction}.\mathrm{Find}$$$$\mathrm{the}\mathrm{times}\left(\mathrm{in}\sec \right)\mathrm{after}\mathrm{which}\mathrm{block}\mathrm{A}$$$$\mathrm{collides}\mathrm{with}\mathrm{B}.$$

Commented by Tinkutara last updated on 04/Oct/17

Commented by mrW1 last updated on 04/Oct/17

$${\mathrm{a}}_{\mathrm{A}}=\frac{{\mu }_{\mathrm{A}}{\mathrm{m}}_{\mathrm{A}}\mathrm{g}}{{\mathrm{m}}_{\mathrm{A}}}={\mu }_{\mathrm{A}}\mathrm{g}$$$${\mathrm{a}}_{\mathrm{B}}=\frac{{\mu }_{\mathrm{B}}{\mathrm{m}}_{\mathrm{B}}\mathrm{g}}{{\mathrm{m}}_{\mathrm{B}}}={\mu }_{\mathrm{B}}\mathrm{g}<{\mathrm{a}}_{\mathrm{A}}$$$$\mathrm{\Delta }\mathrm{a}={\mathrm{a}}_{\mathrm{A}}-{\mathrm{a}}_{\mathrm{B}}=({\mu }_{\mathrm{A}}-{\mu }_{\mathrm{B}})\mathrm{g}$$$$\mathrm{\Delta }\mathrm{s}=\frac{1}{2}\mathrm{\Delta }{\mathrm{at}}^2$$$$\Rightarrow \mathrm{t}=\sqrt{\frac{2\mathrm{\Delta }\mathrm{s}}{\mathrm{\Delta }\mathrm{a}}}=\sqrt{\frac{2\mathrm{\Delta }\mathrm{s}}{({\mu }_{\mathrm{A}}-{\mu }_{\mathrm{B}})\mathrm{g}}}$$$$=\sqrt{\frac{2\times 3}{(0.3-0.1)\times 10}}$$$$=\sqrt{3}$$$$\approx 1.73\mathrm{s}$$$$$$$$\mathrm{F}-{\mu }_{\mathrm{A}}{\mathrm{m}}_{\mathrm{A}}\mathrm{g}-{\mu }_{\mathrm{B}}{\mathrm{m}}_{\mathrm{B}}\mathrm{g}=\mathrm{Ma}$$$$\Rightarrow \mathrm{a}=\frac{\mathrm{F}-({\mu }_{\mathrm{A}}{\mathrm{m}}_{\mathrm{A}}+{\mu }_{\mathrm{B}}{\mathrm{m}}_{\mathrm{B}})\mathrm{g}}{\mathrm{M}}$$$$=\frac{15-(0.3\times 2+0.1\times 1)\times 10}{10}$$$$=0.8\mathrm{m}/{\mathrm{s}}^2$$

Commented by mrW1 last updated on 05/Oct/17

$$\mathrm{I}\mathrm{know}\mathrm{the}\mathrm{answer}\mathrm{was}\mathrm{wrong},\mathrm{since}$$$$\mathrm{a}=0.8\mathrm{m}/{\mathrm{s}}^2\mathrm{which}\mathrm{is}\mathrm{less}\mathrm{than}{\mathrm{a}}_{\mathrm{A}}\mathrm{and}$$$${\mathrm{a}}_{\mathrm{B}}.\mathrm{that}\mathrm{means}\mathrm{the}\mathrm{plank}\mathrm{moves}\mathrm{more}$$$$\mathrm{slowly}\mathrm{than}\mathrm{A}\mathrm{and}\mathrm{B},\mathrm{but}\mathrm{this}\mathrm{is}$$$$\mathrm{contradiction}.$$$$$$$$\mathrm{therefore}\mathrm{I}\mathrm{made}\mathrm{following}\mathrm{consideration}:$$

Commented by mrW1 last updated on 05/Oct/17

$$\mathrm{case}1:\mathrm{only}\mathrm{block}\mathrm{B}\mathrm{slides}\mathrm{on}\mathrm{plank}$$$${\mathrm{R}}_{\mathrm{B}}={\mu }_{\mathrm{B}}{\mathrm{m}}_{\mathrm{B}}\mathrm{g}={\mathrm{m}}_{\mathrm{B}}{\mathrm{a}}_{\mathrm{B}}$$$$\Rightarrow {\mathrm{a}}_{\mathrm{B}}={\mu }_{\mathrm{B}}\mathrm{g}=0.1\times 10=1$$$${\mathrm{a}}_{\mathrm{A}}=\mathrm{a}$$$$\mathrm{F}-{\mathrm{R}}_{\mathrm{B}}=(\mathrm{M}+{\mathrm{m}}_{\mathrm{A}})\mathrm{a}$$$$\Rightarrow \mathrm{a}=\frac{\mathrm{F}-{\mu }_{\mathrm{B}}{\mathrm{m}}_{\mathrm{B}}\mathrm{g}}{\mathrm{M}+{\mathrm{m}}_{\mathrm{A}}}=\frac{15-0.1\times 1\times 10}{10+2}=\frac{7}{6}>{\mathrm{a}}_{\mathrm{B}}=1$$$${\mathrm{R}}_{\mathrm{A}}={\mathrm{m}}_{\mathrm{A}}\mathrm{a}=2\times \frac{7}{6}=\frac{7}{3}\approx 2.33\mathrm{N}$$$${\mu }_{\mathrm{A}}{\mathrm{m}}_{\mathrm{A}}\mathrm{g}=0.3\times 2\times 10=6\mathrm{N}>{\mathrm{R}}_{\mathrm{A}}$$$$\Rightarrow \mathrm{block}\mathrm{A}{\mathrm{doesn}}^{\prime }\mathrm{t}\mathrm{slide},\mathrm{ok}!$$$$$$$$\mathrm{\Delta }\mathrm{a}={\mathrm{a}}_{\mathrm{A}}-{\mathrm{a}}_{\mathrm{B}}=\frac{7}{6}-1=\frac{1}{6}\mathrm{m}/{\mathrm{s}}^2$$$$\mathrm{t}=\sqrt{\frac{2\mathrm{\Delta }\mathrm{s}}{\mathrm{\Delta }\mathrm{a}}}=\sqrt{\frac{2\times 3}{\frac{1}{6}}}=6\mathrm{s}$$$$\Rightarrow \mathrm{after}6\mathrm{seconds}\mathrm{A}\mathrm{meets}\mathrm{B}.$$$$$$$$\mathrm{case}2:\mathrm{both}\mathrm{blocks}\mathrm{slide}\mathrm{on}\mathrm{plank}$$$$\mathrm{impossible},\mathrm{as}\mathrm{shown}\mathrm{above}$$$$$$$$\mathrm{case}3:\mathrm{none}\mathrm{of}\mathrm{the}\mathrm{blocks}\mathrm{slides}\mathrm{on}\mathrm{plank}$$$${\mathrm{a}}_{\mathrm{A}}={\mathrm{a}}_{\mathrm{B}}=\mathrm{a}$$$$\mathrm{F}=(\mathrm{M}+{\mathrm{m}}_{\mathrm{A}}+{\mathrm{m}}_{\mathrm{B}})\mathrm{a}$$$$\Rightarrow \mathrm{a}=\frac{\mathrm{F}}{\mathrm{M}+{\mathrm{m}}_{\mathrm{A}}+{\mathrm{m}}_{\mathrm{B}}}=\frac{15}{10+2+1}=\frac{15}{13}\mathrm{m}/{\mathrm{s}}^2$$$${\mathrm{R}}_{\mathrm{B}}={\mathrm{m}}_{\mathrm{B}}\mathrm{a}=1\times \frac{15}{13}\approx 1.15\mathrm{N}$$$${\mu }_{\mathrm{B}}{\mathrm{m}}_{\mathrm{B}}\mathrm{g}=0.1\times 1\times 10=1\mathrm{N}<{\mathrm{R}}_{\mathrm{B}}$$$$\Rightarrow \mathrm{block}\mathrm{B}\mathrm{muss}\mathrm{slide}!$$$$$$$$\Rightarrow \mathrm{the}\mathrm{answer}\mathrm{is}\mathrm{that}\mathrm{only}\mathrm{block}\mathrm{B}\mathrm{slides}$$$$\mathrm{on}\mathrm{plank}.\mathrm{block}\mathrm{A}\mathrm{keeps}\mathrm{in}\mathrm{rest}\mathrm{on}$$$$\mathrm{plank}.\mathrm{after}6\sec \mathrm{block}\mathrm{A}\mathrm{meets}\mathrm{B}.$$

Commented by mrW1 last updated on 05/Oct/17

$$\mathrm{a}=\frac{\mathrm{F}}{\mathrm{M}+{\mathrm{m}}_{\mathrm{A}}+{\mathrm{m}}_{\mathrm{B}}}⩾{\mu }_{\mathrm{B}}\mathrm{g}$$$$\mathrm{F}⩾{\mu }_{\mathrm{B}}(\mathrm{M}+{\mathrm{m}}_{\mathrm{A}}+{\mathrm{m}}_{\mathrm{B}})\mathrm{g}=0.1\times (10+2+1)\times 10=13\mathrm{N}$$$$\mathrm{that}\mathrm{means}\mathrm{if}\mathrm{F}⩾13\mathrm{N},\mathrm{block}\mathrm{B}\mathrm{slides}$$$$\mathrm{on}\mathrm{plank}.$$$$$$$$\mathrm{a}=\frac{\mathrm{F}-{\mu }_{\mathrm{B}}{\mathrm{m}}_{\mathrm{B}}\mathrm{g}}{\mathrm{M}+{\mathrm{m}}_{\mathrm{A}}}⩾{\mu }_{\mathrm{A}}\mathrm{g}$$$$\mathrm{F}⩾[{\mu }_{\mathrm{A}}(\mathrm{M}+{\mathrm{m}}_{\mathrm{A}})+{\mu }_{\mathrm{B}}{\mathrm{m}}_{\mathrm{B}}]\mathrm{g}=[0.3\times (10+2)+0.1\times 1]\times 10=37\mathrm{N}$$$$\mathrm{that}\mathrm{means}\mathrm{if}\mathrm{F}⩾37\mathrm{N},\mathrm{also}\mathrm{block}\mathrm{A}$$$$\mathrm{slides}\mathrm{on}\mathrm{the}\mathrm{plank}.$$$$$$$$\mathrm{F}<13\mathrm{N}\Rightarrow \mathrm{case}3:\mathrm{no}\mathrm{block}\mathrm{slides}$$$$13\mathrm{N}⩽\mathrm{F}<37\mathrm{N}\Rightarrow \mathrm{case}1:\mathrm{only}\mathrm{block}\mathrm{B}\mathrm{slides}$$$$\mathrm{F}⩾37\mathrm{N}\Rightarrow \mathrm{case}2:\mathrm{both}\mathrm{blocks}\mathrm{slide}$$$$$$$$\mathrm{in}\mathrm{case}3:$$$$\mathrm{t}\to \mathrm{\infty }$$$$$$$$\mathrm{in}\mathrm{case}2:$$$$\mathrm{t}=\sqrt{3}\sec \left(\mathrm{see}\mathrm{above}\right)$$$$$$$$\mathrm{in}\mathrm{case}1:$$$$\mathrm{\Delta }\mathrm{a}=\frac{\mathrm{F}-{\mu }_{\mathrm{B}}{\mathrm{m}}_{\mathrm{B}}\mathrm{g}}{\mathrm{M}+{\mathrm{m}}_{\mathrm{A}}}-{\mu }_{\mathrm{B}}\mathrm{g}=\frac{\mathrm{F}-{\mu }_{\mathrm{B}}(\mathrm{M}+{\mathrm{m}}_{\mathrm{A}}+{\mathrm{m}}_{\mathrm{B}})\mathrm{g}}{\mathrm{M}+{\mathrm{m}}_{\mathrm{A}}}$$$$\mathrm{t}=\sqrt{\frac{2\mathrm{\Delta }\mathrm{s}}{\mathrm{\Delta }\mathrm{a}}}=\sqrt{\frac{2\mathrm{s}(\mathrm{M}+{\mathrm{m}}_{\mathrm{A}})}{\mathrm{F}-{\mu }_{\mathrm{B}}(\mathrm{M}+{\mathrm{m}}_{\mathrm{A}}+{\mathrm{m}}_{\mathrm{B}})\mathrm{g}}}$$$$=\sqrt{\frac{2\times 3\times (10+2)}{\mathrm{F}-0.1\times (10+2+1)\times 10}}$$$$=\sqrt{\frac{72}{\mathrm{F}-13}}$$

Commented by Tinkutara last updated on 05/Oct/17

$$\mathrm{Thank}\mathrm{you}\mathrm{very}\mathrm{much}\mathrm{Sir}!$$

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