Question Number 118924 by mnjuly1970 last updated on 21/Oct/20
$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:…\:{advanced}\:{calculus}… \\ $$$$\:\:\:\:{prove}\:{that}\::: \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\underset{{n}=\mathrm{1}} {\overset{\infty} {\sum}}\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{{n}} {H}_{{n}} }{{n}^{\mathrm{2}} }\:=\int_{\mathrm{0}} ^{\:\mathrm{1}} \frac{{ln}\left(\mathrm{1}−{x}\right){ln}\left(\mathrm{1}+{x}\right)\:\:}{{x}}{dx}\:\: \\ $$$$\:\:\:\:\:{note}\:::\:{H}_{{n}} =\underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{{n}} {\sum}}\frac{\mathrm{1}}{{k}} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:{therefore}:\:\underset{{n}=\mathrm{1}\:} {\overset{\infty} {\sum}}\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{{n}} {H}_{{n}} }{{n}^{\mathrm{2}} }=\frac{−\mathrm{5}}{\mathrm{8}}\:\zeta\:\left(\mathrm{3}\:\right)\:\checkmark \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:..{m}.{n}.{july}.\mathrm{1970}… \\ $$$$ \\ $$
Answered by mindispower last updated on 21/Oct/20
$$\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} {x}^{{n}−\mathrm{1}} {ln}\left(\mathrm{1}−{x}\right){dx}=−\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} {x}^{{n}−\mathrm{1}} \underset{{k}\geqslant\mathrm{1}} {\sum}\frac{{x}^{{k}} }{{k}}{dx} \\ $$$$=−\underset{{k}} {\sum}\frac{\mathrm{1}}{{k}}\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} {x}^{{n}+{k}−\mathrm{1}} {dx}=−\underset{{k}\geqslant\mathrm{1}} {\sum}\frac{\mathrm{1}}{\left({n}+{k}\right){k}} \\ $$$$=−\underset{{k}\geqslant\mathrm{1}} {\sum}\frac{\mathrm{1}}{{n}}\left(\frac{\mathrm{1}}{{k}}−\frac{\mathrm{1}}{{n}+{k}}\right)=−\frac{\mathrm{1}}{{n}}\underset{{k}\leqslant{n}} {\sum}\frac{\mathrm{1}}{{k}}=−\frac{{H}_{{n}} }{{n}} \\ $$$$\Rightarrow\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} {x}^{{n}−\mathrm{1}} {ln}\left(\mathrm{1}−{x}\right){dx}=−\frac{{H}_{{n}} }{{n}} \\ $$$$\frac{\mathrm{1}}{{n}}\int{x}^{{n}−\mathrm{1}} {ln}\left(\mathrm{1}−{x}\right){dx}=−\frac{{H}_{{n}} }{{n}^{\mathrm{2}} } \\ $$$$\Rightarrow\Sigma\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{{n}−\mathrm{1}} }{{n}}\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} {x}^{{n}−\mathrm{1}} {ln}\left(\mathrm{1}−{x}\right){dx}=\underset{{n}\geqslant\mathrm{1}} {\sum}\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{{n}} {H}_{{n}} }{{n}^{\mathrm{2}} } \\ $$$$\Rightarrow\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \left(\frac{\mathrm{1}}{{x}}\Sigma\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{{n}−\mathrm{1}} {x}^{{n}} }{{n}}\right){ln}\left(\mathrm{1}−{x}\right){dx}=\underset{{n}\geqslant\mathrm{1}} {\sum}\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{{n}} {H}_{{n}} }{{n}^{\mathrm{2}} } \\ $$$$\underset{{n}\geqslant\mathrm{1}} {\sum}\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{{n}−\mathrm{1}} {x}^{{n}} }{{n}}={ln}\left(\mathrm{1}+{x}\right)\Leftrightarrow \\ $$$$\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \frac{{ln}\left(\mathrm{1}+{x}\right){ln}\left(\mathrm{1}−{x}\right)}{{x}}{dx}=\Sigma\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{{n}} {H}_{{n}} }{{n}^{\mathrm{2}} } \\ $$$$\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \frac{{ln}\left(\mathrm{1}+{x}\right){ln}\left(\mathrm{1}−{x}\right)}{{x}}{dx}\:{done}\:{in}\:{your}\:{answer} \\ $$$$ \\ $$
Commented by mnjuly1970 last updated on 21/Oct/20
$${bravo}\:{bravo} \\ $$$${mr}\:{power}\: \\ $$$$\:{grateful}\:{sir}… \\ $$
Commented by mindispower last updated on 21/Oct/20
$${withe}\:{pleasur} \\ $$$$ \\ $$