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An-eight-digit-number-is-formed-from-1-2-3-4-such-that-product-of-all-digits-is-always-3072-the-total-number-of-ways-is-23-8-C-k-where-the-value-of-k-is-

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Question Number 21930 by Tinkutara last updated on 07/Oct/17
An eight digit number is formed from 1, 2, 3, 4 such that product of all digits is always 3072, the total number of ways is (23.^8 C_k ), where the value of k is
$$\mathrm{An}\:\mathrm{eight}\:\mathrm{digit}\:\mathrm{number}\:\mathrm{is}\:\mathrm{formed}\:\mathrm{from} \\ $$$$\mathrm{1},\:\mathrm{2},\:\mathrm{3},\:\mathrm{4}\:\mathrm{such}\:\mathrm{that}\:\mathrm{product}\:\mathrm{of}\:\mathrm{all}\:\mathrm{digits} \\ $$$$\mathrm{is}\:\mathrm{always}\:\mathrm{3072},\:\mathrm{the}\:\mathrm{total}\:\mathrm{number}\:\mathrm{of} \\ $$$$\mathrm{ways}\:\mathrm{is}\:\left(\mathrm{23}.\:^{\mathrm{8}} {C}_{{k}} \right),\:\mathrm{where}\:\mathrm{the}\:\mathrm{value}\:\mathrm{of}\:{k} \\ $$$$\mathrm{is} \\ $$
Commented by mrW1 last updated on 07/Oct/17
k=3 or 5 ?
$$\mathrm{k}=\mathrm{3}\:\mathrm{or}\:\mathrm{5}\:? \\ $$
Commented by mrW1 last updated on 07/Oct/17
for k=1 or 7: 23×C_k ^8 =23×8=184 for k=2 or 6: 23×C_k ^8 =23×28=644 for k=3 or 5: 23×C_k ^8 =23×64=1288 for k=4: 23×C_k ^8 =23×70=1610 3072=1^2 ×3^1 ×4^5 ⇒case 1 3072=1^1 ×2^2 ×3^1 ×4^4 ⇒case 2 3072=2^4 ×3^1 ×4^3 ⇒case 3 case 1: 2 digits 1, 1 digit 3,5 digits 4 ⇒C_2 ^8 ×C_1 ^6 =28×6=168 case 2: 1 digit 1, 2 digits 2, 1 digit 3,4 digits 4 ⇒C_1 ^8 ×C_2 ^7 ×C_1 ^5 =8×21×5=840 case 3: 4 digits 2, 1 digit 3,3 digits 4 ⇒C_4 ^8 ×C_1 ^4 =70×4=280 ⇒total ways: 168+840+280=1288 ⇒k=3 or 5
$$\mathrm{for}\:\mathrm{k}=\mathrm{1}\:\mathrm{or}\:\mathrm{7}:\:\mathrm{23}×\mathrm{C}_{\mathrm{k}} ^{\mathrm{8}} =\mathrm{23}×\mathrm{8}=\mathrm{184} \\ $$$$\mathrm{for}\:\mathrm{k}=\mathrm{2}\:\mathrm{or}\:\mathrm{6}:\:\mathrm{23}×\mathrm{C}_{\mathrm{k}} ^{\mathrm{8}} =\mathrm{23}×\mathrm{28}=\mathrm{644} \\ $$$$\mathrm{for}\:\mathrm{k}=\mathrm{3}\:\mathrm{or}\:\mathrm{5}:\:\mathrm{23}×\mathrm{C}_{\mathrm{k}} ^{\mathrm{8}} =\mathrm{23}×\mathrm{64}=\mathrm{1288} \\ $$$$\mathrm{for}\:\mathrm{k}=\mathrm{4}:\:\mathrm{23}×\mathrm{C}_{\mathrm{k}} ^{\mathrm{8}} =\mathrm{23}×\mathrm{70}=\mathrm{1610} \\ $$$$ \\ $$$$\mathrm{3072}=\mathrm{1}^{\mathrm{2}} ×\mathrm{3}^{\mathrm{1}} ×\mathrm{4}^{\mathrm{5}} \:\Rightarrow\mathrm{case}\:\mathrm{1} \\ $$$$\mathrm{3072}=\mathrm{1}^{\mathrm{1}} ×\mathrm{2}^{\mathrm{2}} ×\mathrm{3}^{\mathrm{1}} ×\mathrm{4}^{\mathrm{4}} \:\Rightarrow\mathrm{case}\:\mathrm{2} \\ $$$$\mathrm{3072}=\mathrm{2}^{\mathrm{4}} ×\mathrm{3}^{\mathrm{1}} ×\mathrm{4}^{\mathrm{3}} \:\Rightarrow\mathrm{case}\:\mathrm{3} \\ $$$$ \\ $$$$\mathrm{case}\:\mathrm{1}:\:\mathrm{2}\:\mathrm{digits}\:\mathrm{1},\:\mathrm{1}\:\mathrm{digit}\:\mathrm{3},\mathrm{5}\:\mathrm{digits}\:\mathrm{4} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{C}_{\mathrm{2}} ^{\mathrm{8}} ×\mathrm{C}_{\mathrm{1}} ^{\mathrm{6}} =\mathrm{28}×\mathrm{6}=\mathrm{168} \\ $$$$ \\ $$$$\mathrm{case}\:\mathrm{2}:\:\mathrm{1}\:\mathrm{digit}\:\mathrm{1},\:\mathrm{2}\:\mathrm{digits}\:\mathrm{2},\:\mathrm{1}\:\mathrm{digit}\:\mathrm{3},\mathrm{4}\:\mathrm{digits}\:\mathrm{4} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{C}_{\mathrm{1}} ^{\mathrm{8}} ×\mathrm{C}_{\mathrm{2}} ^{\mathrm{7}} ×\mathrm{C}_{\mathrm{1}} ^{\mathrm{5}} =\mathrm{8}×\mathrm{21}×\mathrm{5}=\mathrm{840} \\ $$$$ \\ $$$$\mathrm{case}\:\mathrm{3}:\:\mathrm{4}\:\mathrm{digits}\:\mathrm{2},\:\mathrm{1}\:\mathrm{digit}\:\mathrm{3},\mathrm{3}\:\mathrm{digits}\:\mathrm{4} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{C}_{\mathrm{4}} ^{\mathrm{8}} ×\mathrm{C}_{\mathrm{1}} ^{\mathrm{4}} =\mathrm{70}×\mathrm{4}=\mathrm{280} \\ $$$$ \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{total}\:\mathrm{ways}: \\ $$$$\mathrm{168}+\mathrm{840}+\mathrm{280}=\mathrm{1288} \\ $$$$ \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{k}=\mathrm{3}\:\mathrm{or}\:\mathrm{5} \\ $$
Commented by Tinkutara last updated on 07/Oct/17
Thank you very much Sir!
$$\mathrm{Thank}\:\mathrm{you}\:\mathrm{very}\:\mathrm{much}\:\mathrm{Sir}! \\ $$

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