Question Number 115368 by mathdave last updated on 25/Sep/20
$${an}\:{open}\:{rectanqular}\:{container}\:{is}\:{to} \\ $$$${have}\:{a}\:{volume}\:{of}\:\mathrm{62}.\mathrm{5}{cm}^{\mathrm{3}} .{find}\:{the}\:{least} \\ $$$${possible}\:{surface}\:{area}\:{of}\:{the}\:{material} \\ $$$${required} \\ $$
Answered by 1549442205PVT last updated on 25/Sep/20
$$\mathrm{Denote}\:\mathrm{the}\:\mathrm{sizes}\:\mathrm{of}\:\mathrm{bottom}\:\mathrm{of}\:\mathrm{the} \\ $$$${open}\:{rectanqular}\:{container}\:\mathrm{by}\:\mathrm{x},\mathrm{y}; \\ $$$$\mathrm{let}\:\mathrm{z}\:\mathrm{is}\:\mathrm{the}\:\mathrm{heigh}\:\mathrm{of}\:\mathrm{the}\:\mathrm{container}. \\ $$$$\mathrm{From}\:\mathrm{the}\:\mathrm{hypothesis}\:\mathrm{we}\:\mathrm{have} \\ $$$$\mathrm{xyz}=\mathrm{62}.\mathrm{5}\left(\mathrm{cm}^{\mathrm{3}} \right).\mathrm{Then}\:\mathrm{the}\:\mathrm{surface}\:\mathrm{area}\: \\ $$$$\mathrm{the}\:{open}\:{rectanqular}\:{container}\:\mathrm{is} \\ $$$$\mathrm{S}=\mathrm{2xz}+\mathrm{2yz}+\mathrm{xy}.\mathrm{Applying}\:\mathrm{Cauchy}'\mathrm{s} \\ $$$$\mathrm{inequality}\:\mathrm{for}\:\mathrm{three}\:\mathrm{positive}\:\mathrm{numbers} \\ $$$$\mathrm{we}\:\mathrm{get} \\ $$$$\mathrm{S}=\mathrm{2xz}+\mathrm{2yz}+\mathrm{xy}\geqslant\mathrm{3}\:^{\mathrm{3}} \sqrt{\mathrm{2xz}.\mathrm{2yz}.\mathrm{xy}} \\ $$$$=\mathrm{3}\:^{\mathrm{3}} \sqrt{\mathrm{4}\left(\mathrm{xyz}\right)^{\mathrm{2}} }=\mathrm{3}\:^{\mathrm{3}} \sqrt{\mathrm{4}.\mathrm{62}.\mathrm{5}^{\mathrm{2}} }=\mathrm{75} \\ $$$$\mathrm{The}\:\mathrm{equality}\:\mathrm{ocurrs}\:\mathrm{if}\:\mathrm{and}\:\mathrm{only}\:\mathrm{if} \\ $$$$\begin{cases}{\mathrm{xyz}=\mathrm{62}.\mathrm{5}}\\{\mathrm{2xz}=\mathrm{2yz}=\mathrm{xy}}\end{cases}\Leftrightarrow\mathrm{x}=\mathrm{y}=\mathrm{5},\mathrm{z}=\frac{\mathrm{5}}{\mathrm{2}} \\ $$$$\mathrm{Thus},\mathrm{the}\:\mathrm{least}\:\mathrm{surface}\:\mathrm{area}\:\mathrm{of}\:\mathrm{the} \\ $$$$\mathrm{container}\:\mathrm{equal}\:\mathrm{to}\:\mathrm{75cm}^{\mathrm{2}\:} \mathrm{when} \\ $$$$\mathrm{x}=\mathrm{y}=\mathrm{5cm},\mathrm{z}=\mathrm{2}.\mathrm{5cm} \\ $$
Commented by mathdave last updated on 25/Sep/20
$${gud}\:{work} \\ $$