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arc-tan-x-1-x-1-arc-tan-x-1-x-arc-tan-7-for-x-real-number-

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Question Number 106286 by bemath last updated on 04/Aug/20
arc tan (((x+1)/(x−1)))+arc tan (((x−1)/x))=arc tan (−7) for x real number
$$\mathrm{arc}\:\mathrm{tan}\:\left(\frac{\mathrm{x}+\mathrm{1}}{\mathrm{x}−\mathrm{1}}\right)+\mathrm{arc}\:\mathrm{tan}\:\left(\frac{\mathrm{x}−\mathrm{1}}{\mathrm{x}}\right)=\mathrm{arc}\:\mathrm{tan}\:\left(−\mathrm{7}\right) \\ $$$$\mathrm{for}\:\mathrm{x}\:\mathrm{real}\:\mathrm{number} \\ $$
Answered by bobhans last updated on 04/Aug/20
→arc tan (((x+1)/(x−1)))+arc tan (((x−1)/x))=arc tan (−7) tan (arc tan (((x+1)/(x−1)))+arc tan (((x−1)/x)))=tan (arc tan (−7)) ((((x+1)/(x−1))+((x−1)/x))/(1−((x+1)/(x−1)).((x−1)/x))) = −7⇒((x+1)/(x−1))+((x−1)/x)=−7(1−((x^2 −1)/(x^2 −x))) x^2 +x+x^2 −2x+1=−7(x^2 −x−x^2 +1) 2x^2 −x+1=−7(−x+1) 2x^2 −x+1=7x−7 ⇒2x^2 −8x+8=0 2(x−2)^2 = 0 ⇒x = 2. ★
$$\rightarrow\mathrm{arc}\:\mathrm{tan}\:\left(\frac{\mathrm{x}+\mathrm{1}}{\mathrm{x}−\mathrm{1}}\right)+\mathrm{arc}\:\mathrm{tan}\:\left(\frac{\mathrm{x}−\mathrm{1}}{\mathrm{x}}\right)=\mathrm{arc}\:\mathrm{tan}\:\left(−\mathrm{7}\right) \\ $$$$\mathrm{tan}\:\left(\mathrm{arc}\:\mathrm{tan}\:\left(\frac{\mathrm{x}+\mathrm{1}}{\mathrm{x}−\mathrm{1}}\right)+\mathrm{arc}\:\mathrm{tan}\:\left(\frac{\mathrm{x}−\mathrm{1}}{\mathrm{x}}\right)\right)=\mathrm{tan}\:\left(\mathrm{arc}\:\mathrm{tan}\:\left(−\mathrm{7}\right)\right) \\ $$$$\frac{\frac{\mathrm{x}+\mathrm{1}}{\mathrm{x}−\mathrm{1}}+\frac{\mathrm{x}−\mathrm{1}}{\mathrm{x}}}{\mathrm{1}−\frac{\mathrm{x}+\mathrm{1}}{\mathrm{x}−\mathrm{1}}.\frac{\mathrm{x}−\mathrm{1}}{\mathrm{x}}}\:=\:−\mathrm{7}\Rightarrow\frac{\mathrm{x}+\mathrm{1}}{\mathrm{x}−\mathrm{1}}+\frac{\mathrm{x}−\mathrm{1}}{\mathrm{x}}=−\mathrm{7}\left(\mathrm{1}−\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{x}}\right) \\ $$$$\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{x}+\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2x}+\mathrm{1}=−\mathrm{7}\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{x}−\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}\right) \\ $$$$\mathrm{2x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{x}+\mathrm{1}=−\mathrm{7}\left(−\mathrm{x}+\mathrm{1}\right) \\ $$$$\mathrm{2x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{x}+\mathrm{1}=\mathrm{7x}−\mathrm{7}\:\Rightarrow\mathrm{2x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{8x}+\mathrm{8}=\mathrm{0} \\ $$$$\mathrm{2}\left(\mathrm{x}−\mathrm{2}\right)^{\mathrm{2}} \:=\:\mathrm{0}\:\Rightarrow\mathrm{x}\:=\:\mathrm{2}.\:\bigstar \\ $$
Answered by Dwaipayan Shikari last updated on 04/Aug/20
tan^(−1) (((x+1)/(x−1)))+tan^(−1) (((x−1)/x)) =tan^(−1) (((((x+1)/(x−1))+((x−1)/x))/(1−((x+1)/x))))=tan^(−1) ((((x^2 +x+x^2 −2x+1)/((x−1)x))/(−(1/x))))=tan^(−1) (−7) ⇒2x^2 −x+1=−7(1−x) ⇒2x^2 −8x−8=0 ⇒x^2 −4x+4=0⇒x=2
$${tan}^{−\mathrm{1}} \left(\frac{{x}+\mathrm{1}}{{x}−\mathrm{1}}\right)+{tan}^{−\mathrm{1}} \left(\frac{{x}−\mathrm{1}}{{x}}\right) \\ $$$$={tan}^{−\mathrm{1}} \left(\frac{\frac{{x}+\mathrm{1}}{{x}−\mathrm{1}}+\frac{{x}−\mathrm{1}}{{x}}}{\mathrm{1}−\frac{{x}+\mathrm{1}}{{x}}}\right)={tan}^{−\mathrm{1}} \left(\frac{\frac{{x}^{\mathrm{2}} +{x}+{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2}{x}+\mathrm{1}}{\left({x}−\mathrm{1}\right){x}}}{−\frac{\mathrm{1}}{{x}}}\right)={tan}^{−\mathrm{1}} \left(−\mathrm{7}\right) \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{2}{x}^{\mathrm{2}} −{x}+\mathrm{1}=−\mathrm{7}\left(\mathrm{1}−{x}\right) \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{2}{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{8}{x}−\mathrm{8}=\mathrm{0} \\ $$$$\Rightarrow{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{4}{x}+\mathrm{4}=\mathrm{0}\Rightarrow{x}=\mathrm{2} \\ $$

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