Question Number 111528 by bemath last updated on 04/Sep/20
$$\:\:\:\sqrt{\mathrm{bemath}} \\ $$$$\:\:\underset{{x}\rightarrow\pi/\mathrm{2}} {\mathrm{lim}}\left(\mathrm{1}−\mathrm{sin}\:\mathrm{x}\right)^{\mathrm{cos}\:\mathrm{x}} \:? \\ $$
Answered by bobhans last updated on 04/Sep/20
$$\mathrm{let}\:\mathrm{1}−\mathrm{sin}\:\mathrm{x}\:=\:\mathrm{w}\:;\:\mathrm{where}\:\mathrm{w}\rightarrow\mathrm{0}\:\mathrm{and}\:\mathrm{sin}\:\mathrm{x}=\mathrm{1}−\mathrm{w} \\ $$$$\mathrm{cos}\:\mathrm{x}\:=\:\sqrt{\mathrm{1}−\left(\mathrm{1}−\mathrm{2w}+\mathrm{w}^{\mathrm{2}} \right)}\:=\:\sqrt{\mathrm{2w}−\mathrm{w}^{\mathrm{2}} } \\ $$$$\mathrm{L}=\:\underset{\mathrm{w}\rightarrow\mathrm{0}} {\mathrm{lim}}\:\left(\mathrm{w}\right)^{\sqrt{\mathrm{2w}−\mathrm{w}^{\mathrm{2}} }} \: \\ $$$$\mathrm{ln}\:\mathrm{L}\:=\:\underset{\mathrm{w}\rightarrow\mathrm{0}} {\mathrm{lim}}\:\sqrt{\mathrm{2w}−\mathrm{w}^{\mathrm{2}} }\:\mathrm{ln}\:\left(\mathrm{w}\right) \\ $$$$\mathrm{ln}\:\mathrm{L}\:=\:\underset{\mathrm{w}\rightarrow\mathrm{0}} {\mathrm{lim}}\:\frac{\mathrm{ln}\:\left(\mathrm{w}\right)}{\left(\mathrm{2w}−\mathrm{w}^{\mathrm{2}} \right)^{−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}} } \\ $$$$\mathrm{ln}\:\mathrm{L}=\:\underset{\mathrm{w}\rightarrow\mathrm{0}} {\mathrm{lim}}\:\frac{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{w}}}{−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\left(\mathrm{2}−\mathrm{2w}\right)\left(\mathrm{2w}−\mathrm{w}^{\mathrm{2}} \right)^{−\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{2}}} } \\ $$$$\mathrm{ln}\:\mathrm{L}\:=\:\underset{\mathrm{w}\rightarrow\mathrm{0}} {\mathrm{lim}}\:\frac{−\left(\mathrm{2w}−\mathrm{w}^{\mathrm{2}} \right)^{\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{2}}} }{\mathrm{w}−\mathrm{w}^{\mathrm{2}} } \\ $$$$\mathrm{ln}\:\mathrm{L}\:=\:\underset{\mathrm{w}\rightarrow\mathrm{0}} {\mathrm{lim}}\:\frac{−\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{2}}\left(\mathrm{2}−\mathrm{2w}\right)\sqrt{\mathrm{2w}−\mathrm{w}^{\mathrm{2}} }}{\mathrm{1}−\mathrm{2w}}\:=\:\mathrm{0} \\ $$$$\therefore\:\mathrm{L}\:=\:\mathrm{e}^{\mathrm{0}} \:=\:\mathrm{1} \\ $$
Answered by Dwaipayan Shikari last updated on 04/Sep/20
$$\underset{{x}\rightarrow\frac{\pi}{\mathrm{2}}} {\mathrm{lim}}\left(\mathrm{1}−{sinx}\right)^{{cosx}} ={y} \\ $$$${cosxlog}\left(\mathrm{1}−{sinx}\right)={logy} \\ $$$$\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\left(−\mathrm{2}{cosxsinx}\frac{{log}\left(\mathrm{1}−{sinx}\right)}{−{sinx}}\right)={logy} \\ $$$$\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\left(−{sin}\mathrm{2}{x}\right)={logy} \\ $$$${logy}=\mathrm{0} \\ $$$${y}=\mathrm{1} \\ $$
Answered by 1549442205PVT last updated on 04/Sep/20
$$\mathrm{I}=\:\:\underset{\mathrm{x}\rightarrow\frac{\pi}{\mathrm{2}}} {\mathrm{lim}}\left(\mathrm{1}−\mathrm{sin}\:\mathrm{x}\right)^{\mathrm{cos}\:\mathrm{x}} \: \\ $$$$\mathrm{lnI}=\underset{\mathrm{x}\rightarrow\frac{\pi}{\mathrm{2}}} {\mathrm{lim}}\left[\mathrm{cosxln}\left(\mathrm{1}−\mathrm{sinx}\right)\right] \\ $$$$=\underset{\mathrm{x}\rightarrow\frac{\pi}{\mathrm{2}}} {\mathrm{lim}}\frac{\mathrm{ln}\left(\mathrm{1}−\mathrm{sinx}\right)}{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{cosx}}}=\underset{\mathrm{x}\rightarrow\frac{\pi}{\mathrm{2}}} {\mathrm{lim}}\frac{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}−\mathrm{sinx}}×\left(−\mathrm{cosx}\right)}{\frac{\mathrm{sinx}}{\mathrm{cos}^{\mathrm{2}} \mathrm{x}}} \\ $$$$\left(\mathrm{Since}\:\:\underset{\mathrm{x}\rightarrow\frac{\pi}{\mathrm{2}}} {\mathrm{lim}}\frac{\mathrm{ln}\left(\mathrm{1}−\mathrm{sinx}\right)}{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{cosx}}}=\frac{\infty}{\infty}\right)\Rightarrow\mathrm{using}\:\mathrm{L}'\mathrm{Hopital} \\ $$$$=\underset{\mathrm{x}\rightarrow\frac{\pi}{\mathrm{2}}} {\mathrm{lim}}\frac{−\mathrm{cos}^{\mathrm{3}} \mathrm{x}}{\left(\mathrm{1}−\mathrm{sinx}\right)\mathrm{sinx}}=\underset{\mathrm{x}\rightarrow\pi/\mathrm{2}} {\mathrm{lim}}\frac{\mathrm{3cos}^{\mathrm{2}} \mathrm{xsinx}}{\left(\mathrm{1}−\mathrm{sinx}\right)\mathrm{cosx}−\mathrm{cosxsinx}} \\ $$$$=\underset{\mathrm{x}\rightarrow\frac{\pi}{\mathrm{2}}} {\boldsymbol{\mathrm{lim}}}\frac{\mathrm{3}\boldsymbol{\mathrm{cosxsinx}}}{\mathrm{1}−\mathrm{2}\boldsymbol{\mathrm{sinx}}}=\frac{\mathrm{0}}{−\mathrm{1}}=\mathrm{0}\Rightarrow\boldsymbol{\mathrm{I}}=\boldsymbol{\mathrm{e}}^{\mathrm{0}} =\mathrm{1} \\ $$