Question Number 111351 by bemath last updated on 03/Sep/20
$$\:\:\:\sqrt{\mathrm{bemath}} \\ $$$$\underset{{x}\rightarrow−\infty} {\mathrm{lim}}\:\frac{\mathrm{x}−\sqrt{\mathrm{4x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}}}{\:\sqrt{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{2x}+\mathrm{1}}}\:? \\ $$
Answered by ajfour last updated on 03/Sep/20
$$\:\:\:\:\:=\underset{{x}\rightarrow−\infty} {\mathrm{lim}}\frac{\frac{{x}}{\mid{x}\mid}−\sqrt{\mathrm{4}+\frac{\mathrm{1}}{{x}^{\mathrm{2}} }}}{\:\sqrt{\mathrm{1}+\frac{\mathrm{2}{x}}{\mid{x}\mid^{\mathrm{2}} }+\frac{\mathrm{1}}{{x}^{\mathrm{2}} }}}\:=\:\frac{−\mathrm{1}−\mathrm{2}}{\mathrm{1}} \\ $$$$\:\:\:\:\:=−\mathrm{3}\:. \\ $$
Answered by bobhans last updated on 03/Sep/20
$$\:\underset{{x}\rightarrow−\infty} {\mathrm{lim}}\:\frac{\mathrm{x}−\sqrt{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{4}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }\right)}}{\:\sqrt{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{1}+\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{x}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }\right)}}\:=\:\underset{{x}\rightarrow−\infty} {\mathrm{lim}}\frac{\mathrm{x}+\mathrm{x}\sqrt{\mathrm{4}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }}}{−\mathrm{x}\sqrt{\mathrm{1}+\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{x}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }}} \\ $$$$\underset{{x}\rightarrow−\infty} {\mathrm{lim}}\frac{\mathrm{1}+\sqrt{\mathrm{4}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }}}{−\sqrt{\mathrm{1}+\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{x}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }}}\:=\:\frac{\mathrm{1}+\mathrm{2}}{−\mathrm{1}}\:=\:−\mathrm{3} \\ $$