Question Number 106996 by bemath last updated on 10/Aug/20
$$\:\:\:\:\:\:\:@{bemath}@ \\ $$$$\mathrm{log}\:_{\mid\mathrm{2}{x}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mid} \left({x}+\mathrm{1}+\frac{\mathrm{1}}{{x}}\right)\geqslant\mathrm{log}\:_{\mid\mathrm{2}{x}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mid} \left({x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}+\frac{\mathrm{1}}{{x}^{\mathrm{2}} }\right) \\ $$
Commented by bemath last updated on 10/Aug/20
$${thank}\:{you} \\ $$
Answered by bobhans last updated on 10/Aug/20
$$\:\:\:\:\:\:\dotplus\mathrm{bobhans}\dotplus \\ $$$$\mathrm{log}\:_{\mid\mathrm{2x}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mid} \left(\mathrm{x}+\mathrm{1}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}}\right)\:\geqslant\:\mathrm{log}\:_{\mid\mathrm{2x}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mid} \left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }\right) \\ $$$$\begin{cases}{\mathrm{x}+\mathrm{1}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}}>\mathrm{0}}\\{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }>\mathrm{0}}\\{\mid\mathrm{2x}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mid>\mathrm{0}}\end{cases}\:\:\:\Rightarrow\begin{cases}{\mathrm{x}>\mathrm{0}}\\{\mathrm{x}\neq\mathrm{0}}\\{\mathrm{x}\neq\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}}\end{cases} \\ $$$$\Rightarrow\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{3}} +\mathrm{x}−\mathrm{x}^{\mathrm{4}} −\mathrm{1}}{\left(\mathrm{2x}−\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{2}}\right)\left(\mathrm{2x}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\right)}\:\geqslant\:\mathrm{0}\:…\left(×\left(−\mathrm{1}\right)\right. \\ $$$$\Leftrightarrow\:\frac{\left(\mathrm{x}+\mathrm{1}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}}\right)−\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }\right)}{\mid\mathrm{2x}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mid−\mathrm{1}}\:\geqslant\:\mathrm{0}…\left(×\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \right) \\ $$$$\Rightarrow\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{3}} +\mathrm{x}−\mathrm{x}^{\mathrm{4}} −\mathrm{1}}{\left(\mathrm{2x}−\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{2}}\right)\left(\mathrm{2x}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\right)}\:\geqslant\:\mathrm{0}\:…\left(×\left(−\mathrm{1}\right)\right. \\ $$$$\Rightarrow\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{4}} −\mathrm{x}^{\mathrm{3}} −\mathrm{x}+\mathrm{1}}{\left(\mathrm{2x}−\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{2}}\right)\left(\mathrm{2x}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\right)}\:\leqslant\:\mathrm{0}…\left(×\left(\mathrm{2x}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\right)\right) \\ $$$$\Rightarrow\frac{\left(\mathrm{x}−\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{x}^{\mathrm{3}} −\mathrm{1}\right)}{\left(\mathrm{2x}−\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{2}}\right)}\:\leqslant\:\mathrm{0}\: \\ $$$$\Rightarrow\frac{\left(\mathrm{x}−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{x}+\mathrm{1}\right)}{\left(\mathrm{2x}−\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{2}}\right)}\:\leqslant\mathrm{0}\:;\:\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{x}+\mathrm{1}\:>\mathrm{0}\:\forall\mathrm{x}\in\mathbb{R} \\ $$$$\Rightarrow\frac{\left(\mathrm{x}−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }{\left(\mathrm{2x}−\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{2}}\right)}\:\leqslant\:\mathrm{0}\:\Rightarrow\mathrm{solution}\: \\ $$$$\mathrm{x}\in\left(\mathrm{0},\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}\right)\:\cup\:\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}},\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{4}}\right)\:\cup\:\left\{\mathrm{1}\right\}\: \\ $$$$ \\ $$