Question Number 150222 by lapache last updated on 10/Aug/21
$${Calcul}\:{des}\:{sommes} \\ $$$${A}−\:\underset{{p}=\mathrm{0}} {\overset{\alpha} {\sum}}{C}_{{n}} ^{\mathrm{2}{p}} =…..??\:\:\:\:\:{avec}\:\:\alpha={E}\left(\frac{{n}}{\mathrm{2}}\right) \\ $$$${B}−\:\underset{{p}=\mathrm{0}} {\overset{\beta} {\sum}}{C}_{{n}} ^{\mathrm{2}{p}+\mathrm{1}} =….??\:\:\:\:{avec}\:\beta={E}\left(\frac{{n}−\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\right) \\ $$$$ \\ $$
Answered by puissant last updated on 10/Aug/21
$$\left.{C}\right) \\ $$$${posons}\:{f}\left({x}\right)=\left({x}+\mathrm{1}\right)^{{n}} \Rightarrow\:{f}\left({x}\right)=\underset{{p}=\mathrm{0}} {\overset{{n}} {\sum}}{C}_{{n}} ^{{p}} {x}^{{p}} \\ $$$${alors}\:{f}\:''\left({x}\right)={n}\left({n}−\mathrm{1}\right)\left({x}+\mathrm{1}\right)^{{n}−\mathrm{2}} \\ $$$${d}'{autre}\:{part}\:{f}\:''\left({x}\right)=\underset{{p}=\mathrm{2}} {\overset{{n}} {\sum}}{p}\left({p}−\mathrm{1}\right){C}_{{n}} ^{{p}} {x}^{{p}−\mathrm{2}} \\ $$$$\rightarrow\:{pour}\:{x}=\mathrm{1},\:{on}\:{a}: \\ $$$${f}\:''\left(\mathrm{1}\right)={n}\left({n}−\mathrm{1}\right)\mathrm{2}^{{n}−\mathrm{2}} \\ $$$${d}'{autre}\:{part},\:{f}\:''\left(\mathrm{1}\right)=\underset{{p}=\mathrm{2}} {\overset{{n}} {\sum}}{p}\left({p}−\mathrm{1}\right){C}_{{n}} ^{{p}} \\ $$$${d}'{ou}\:\underset{{p}=\mathrm{2}} {\overset{{n}} {\sum}}{p}\left({p}−\mathrm{1}\right){C}_{{n}} ^{{p}} \:=\:{n}\left({n}−\mathrm{1}\right)\mathrm{2}^{{n}−\mathrm{2}} \\ $$$$\left({D}\acute {{e}duction}\:{triviale}\right)… \\ $$