Question Number 102416 by mathmax by abdo last updated on 09/Jul/20
$$\mathrm{calculate}\:\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \:\mathrm{e}^{−\mathrm{x}} \mathrm{ln}\left(\mathrm{1}+\mathrm{e}^{\mathrm{x}} \right)\mathrm{dx} \\ $$
Answered by OlafThorendsen last updated on 09/Jul/20
$$\mathrm{I}\:=\:\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} {e}^{−{x}} \mathrm{ln}\left(\mathrm{1}+{e}^{{x}} \right){dx} \\ $$$${u}\:=\:{e}^{{x}} \:\Rightarrow\:{dx}\:=\:\frac{{du}}{{u}} \\ $$$$\mathrm{I}\:=\:\int_{\mathrm{1}} ^{{e}} \frac{\mathrm{1}}{{u}}\mathrm{ln}\left(\mathrm{1}+{u}\right)\frac{{du}}{{u}} \\ $$$$\mathrm{I}\:=\:\int_{\mathrm{1}} ^{{e}} \frac{\mathrm{1}}{{u}^{\mathrm{2}} }\mathrm{ln}\left(\mathrm{1}+{u}\right){du} \\ $$$$\mathrm{I}\:=\:\left[−\frac{\mathrm{1}}{{u}}\mathrm{ln}\left(\mathrm{1}+{u}\right)\right]_{\mathrm{1}} ^{{e}} −\int_{\mathrm{1}} ^{{e}} \left(−\frac{\mathrm{1}}{{u}}\right)\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}+{u}}{du} \\ $$$$\mathrm{I}\:=\:\mathrm{ln2}−\frac{\mathrm{1}}{{e}}\mathrm{ln}\left(\mathrm{1}+{e}\right)+\int_{\mathrm{1}} ^{{e}} \left(\frac{\mathrm{1}}{{u}}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}+{u}}\right){du} \\ $$$$\mathrm{I}\:=\:\mathrm{ln2}−\frac{\mathrm{1}}{{e}}\mathrm{ln}\left(\mathrm{1}+{e}\right)+\left[\mathrm{ln}\frac{{u}}{\mathrm{1}+{u}}\right]_{\mathrm{1}} ^{{e}} \\ $$$$\mathrm{I}\:=\:\mathrm{ln2}−\frac{\mathrm{1}}{{e}}\mathrm{ln}\left(\mathrm{1}+{e}\right)+\mathrm{ln}\frac{{e}}{\mathrm{1}+{e}}−\mathrm{ln}\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}} \\ $$$$\mathrm{I}\:=\:\mathrm{2ln2}+\mathrm{1}−\left(\mathrm{1}+\frac{\mathrm{1}}{{e}}\right)\mathrm{ln}\left(\mathrm{1}+{e}\right) \\ $$$$ \\ $$$$ \\ $$
Answered by mathmax by abdo last updated on 10/Jul/20
$$\mathrm{A}\:=\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \:\mathrm{e}^{−\mathrm{x}} \mathrm{ln}\left(\mathrm{1}+\mathrm{e}^{\mathrm{x}} \right)\mathrm{dx}\:\:\mathrm{by}\:\mathrm{parts}\:\mathrm{u}^{'} \:=\mathrm{e}^{−\mathrm{x}\:} \:\mathrm{and}\:\mathrm{v}\:=\mathrm{ln}\left(\mathrm{1}+\mathrm{e}^{\mathrm{x}} \right) \\ $$$$\mathrm{A}\:=\:\left[−\mathrm{e}^{−\mathrm{x}} \mathrm{ln}\left(\mathrm{1}+\mathrm{e}^{\mathrm{x}} \right)\right]_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \:+\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}\:} \:\:\mathrm{e}^{−\mathrm{x}} \:×\frac{\mathrm{e}^{\mathrm{x}} }{\mathrm{1}+\mathrm{e}^{\mathrm{x}} }\mathrm{dx}\: \\ $$$$=\mathrm{ln}\left(\mathrm{2}\right)−\mathrm{e}^{−\mathrm{1}} \mathrm{ln}\left(\:\mathrm{1}+\mathrm{e}\right)\:+\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \:\frac{\mathrm{dx}}{\mathrm{1}+\mathrm{e}^{\mathrm{x}} }\:\:\left(\rightarrow\mathrm{e}^{\mathrm{x}} \:=\mathrm{t}\right) \\ $$$$=\mathrm{ln}\left(\mathrm{2}\right)−\mathrm{e}^{−\mathrm{1}} \mathrm{ln}\left(\mathrm{1}+\mathrm{e}\right)\:+\int_{\mathrm{1}} ^{\mathrm{e}} \:\:\frac{\mathrm{dt}}{\mathrm{t}\left(\mathrm{1}+\mathrm{t}\right)} \\ $$$$\mathrm{we}\:\mathrm{have}\:\int_{\mathrm{1}} ^{\mathrm{e}} \:\frac{\mathrm{dt}}{\mathrm{t}\left(\mathrm{t}+\mathrm{1}\right)}\:=\int_{\mathrm{1}} ^{\mathrm{e}} \left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{t}}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{t}+\mathrm{1}}\right)\mathrm{dt}\:=\left[\mathrm{ln}\mid\frac{\mathrm{t}}{\mathrm{t}+\mathrm{1}}\mid\right]_{\mathrm{1}} ^{\mathrm{e}} \\ $$$$=\mathrm{ln}\left(\frac{\mathrm{e}}{\mathrm{e}+\mathrm{1}}\right)\:−\mathrm{ln}\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\right)\:=\mathrm{1}−\mathrm{ln}\left(\mathrm{e}+\mathrm{1}\right)+\mathrm{ln}\left(\mathrm{2}\right)\:\Rightarrow \\ $$$$\mathrm{A}\:=\mathrm{ln}\left(\mathrm{2}\right)−\mathrm{e}^{−\mathrm{1}} \mathrm{ln}\left(\mathrm{1}+\mathrm{e}\right)\:+\mathrm{1}−\mathrm{ln}\left(\mathrm{e}+\mathrm{1}\right)+\mathrm{ln}\left(\mathrm{2}\right) \\ $$$$=\mathrm{2ln}\left(\mathrm{2}\right)−\mathrm{e}^{−\mathrm{1}} \mathrm{ln}\left(\mathrm{e}+\mathrm{1}\right)−\mathrm{ln}\left(\mathrm{e}+\mathrm{1}\right)\:+\mathrm{1} \\ $$