Question Number 94310 by mathmax by abdo last updated on 18/May/20
$${calculate}\:\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \:\frac{{ln}\left(\mathrm{1}−{x}^{\mathrm{2}} \right)}{{x}^{\mathrm{2}} }{dx} \\ $$$$ \\ $$
Answered by mathmax by abdo last updated on 19/May/20
$$\mathrm{another}\:\mathrm{way}\:\:\:\mathrm{by}\:\mathrm{parts}\:\mathrm{u}^{'} \:=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }\:\mathrm{and}\:\mathrm{v}\:=\mathrm{ln}\left(\mathrm{1}−\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \right)\:\Rightarrow \\ $$$$\mathrm{I}\:=\left[\left(\mathrm{1}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}}\right)\mathrm{ln}\left(\mathrm{1}−\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \right)\right]_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} −\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \left(\mathrm{1}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}}\right)×\frac{−\mathrm{2x}}{\mathrm{1}−\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }\mathrm{dx} \\ $$$$=\mathrm{0}\:+\mathrm{2}\:\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \frac{\mathrm{x}−\mathrm{1}}{\mathrm{1}−\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }\mathrm{dx}\:=−\mathrm{2}\:\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \frac{\mathrm{1}−\mathrm{x}}{\left(\mathrm{1}−\mathrm{x}\right)\left(\mathrm{1}+\mathrm{x}\right)}\mathrm{dx}\:=−\mathrm{2}\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \:\frac{\mathrm{dx}}{\mathrm{1}+\mathrm{x}} \\ $$$$=−\mathrm{2}\left[\mathrm{ln}\mid\mathrm{1}+\mathrm{x}\mid\right]_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \:=−\mathrm{2ln}\left(\mathrm{2}\right)\:\Rightarrow\:\bigstar\:\mathrm{I}\:=−\mathrm{2ln}\left(\mathrm{2}\right)\bigstar \\ $$
Answered by mathmax by abdo last updated on 19/May/20
$$\mathrm{we}\:\mathrm{have}\:\mathrm{ln}^{'} \left(\mathrm{1}−\mathrm{u}\right)\:=\frac{−\mathrm{1}}{\mathrm{1}−\mathrm{u}}\:=−\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{0}} ^{\infty} \:\mathrm{u}^{\mathrm{n}} \:\Rightarrow\mathrm{ln}\left(\mathrm{1}−\mathrm{u}\right)=−\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{0}} ^{\infty} \:\frac{\mathrm{u}^{\mathrm{n}+\mathrm{1}} }{\mathrm{n}+\mathrm{1}}+\mathrm{c} \\ $$$$\left(\mathrm{c}=\mathrm{0}\right)\:=−\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \:\frac{\mathrm{u}^{\mathrm{n}} }{\mathrm{n}}\:\Rightarrow\mathrm{ln}\left(\mathrm{1}−\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \right)\:=−\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \:\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{2n}} }{\mathrm{n}}\:\mathrm{and} \\ $$$$\frac{\mathrm{ln}\left(\mathrm{1}−\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \right)}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }\:=−\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \:\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{2n}−\mathrm{2}} }{\mathrm{n}}\:\Rightarrow\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \:\frac{\mathrm{ln}\left(\mathrm{1}−\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \right)}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }\mathrm{dx} \\ $$$$=−\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{n}\left(\mathrm{2n}−\mathrm{1}\right)}\:\:\mathrm{let}\:\mathrm{s}_{\mathrm{n}} =\sum_{\mathrm{k}=\mathrm{1}} ^{\mathrm{n}} \:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{k}\left(\mathrm{2k}−\mathrm{1}\right)}\:\Rightarrow \\ $$$$\frac{\mathrm{s}_{\mathrm{n}} }{\mathrm{2}}\:=\sum_{\mathrm{k}=\mathrm{1}} ^{\mathrm{n}} \:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2k}\left(\mathrm{2k}−\mathrm{1}\right)}\:=\sum_{\mathrm{k}=\mathrm{1}} ^{\mathrm{n}} \left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2k}−\mathrm{1}}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2k}}\right) \\ $$$$=\sum_{\mathrm{k}=\mathrm{1}} ^{\mathrm{n}} \:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2k}−\mathrm{1}}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\sum_{\mathrm{k}=\mathrm{1}} ^{\mathrm{n}} \:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{k}}\:=\mathrm{H}_{\mathrm{2n}} −\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathrm{H}_{\mathrm{n}} −\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathrm{H}_{\mathrm{n}} \\ $$$$=\mathrm{H}_{\mathrm{2n}} −\mathrm{H}_{\mathrm{n}} \sim\mathrm{ln}\left(\mathrm{2n}\right)\:+\gamma\:+\mathrm{o}\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2n}}\right)−\mathrm{ln}\left(\mathrm{n}\right)−\gamma\:−\mathrm{o}^{'} \left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{n}}\right)\:\rightarrow\mathrm{ln}\left(\mathrm{2}\right)\:\Rightarrow \\ $$$$\mathrm{lim}_{\mathrm{n}\rightarrow\infty} \:\mathrm{s}_{\mathrm{n}} =\mathrm{2ln}\left(\mathrm{2}\right)\:\Rightarrow\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \:\frac{\mathrm{ln}\left(\mathrm{1}−\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \right)}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }\mathrm{dx}\:=−\mathrm{2ln}\left(\mathrm{2}\right) \\ $$