Question Number 45232 by maxmathsup by imad last updated on 10/Oct/18
$${calculate}\:\:\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} {ln}\left({x}\right){ln}\left(\mathrm{1}+{x}\right){dx}\:. \\ $$
Commented by maxmathsup by imad last updated on 11/Oct/18
$${let}\:{I}\:=\:\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} {ln}\left({x}\right){ln}\left(\mathrm{1}+{x}\right){dx}\:\:{we}\:{have}\:{for}\:\mid{x}\mid<\mathrm{1} \\ $$$${ln}^{'} \left(\mathrm{1}+{x}\right)=\sum_{{n}=\mathrm{0}} ^{\infty} \:\left(−\mathrm{1}\right)^{{n}} {x}^{{n}} \:\Rightarrow{ln}\left(\mathrm{1}+{x}\right)=\sum_{{n}=\mathrm{0}} ^{\infty} \:\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{{n}} }{{n}+\mathrm{1}}{x}^{{n}+\mathrm{1}} \:+\lambda \\ $$$${x}=\mathrm{0}\:\Rightarrow\lambda=\mathrm{0}\:\Rightarrow{ln}\left(\mathrm{1}+{x}\right)\:=\sum_{{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \:\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{{n}−\mathrm{1}} }{{n}}\:{x}^{{n}} \:\Rightarrow \\ $$$${I}\:=\sum_{{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \:\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{{n}−\mathrm{1}} }{{n}}\:\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \:{x}^{{n}} {ln}\left({x}\right){dx}\:\:{by}\:{parts} \\ $$$${A}_{{n}} =\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} {x}^{{n}} {ln}\left({x}\right){dx}\:=\left[\frac{\mathrm{1}}{{n}+\mathrm{1}}{x}^{{n}+\mathrm{1}} {ln}\left({x}\right)\right]_{{x}\rightarrow\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \:−\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \frac{\mathrm{1}}{\left({n}+\mathrm{1}\right)}\:{x}^{{n}} {dx} \\ $$$$=−\frac{\mathrm{1}}{\left({n}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }\:\Rightarrow{I}\:=\sum_{{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \:\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{{n}} }{{n}\left({n}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }\:\:{let}\:{decompose}\:{F}\left({x}\right)=\frac{\mathrm{1}}{{x}\left({x}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} } \\ $$$${F}\left({x}\right)=\frac{{a}}{{x}}\:+\frac{{b}}{{x}+\mathrm{1}}\:+\frac{{c}}{\left({x}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} } \\ $$$${a}\:={lim}_{{x}\rightarrow\mathrm{0}} {xF}\left({x}\right)=\mathrm{1} \\ $$$${c}\:={lim}_{{x}\rightarrow−\mathrm{1}} \left({x}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} {F}\left({x}\right)=−\mathrm{1}\:\Rightarrow{F}\left({x}\right)=\frac{\mathrm{1}}{{x}}\:+\frac{{b}}{{x}+\mathrm{1}}\:−\frac{\mathrm{1}}{\left({x}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} } \\ $$$${F}\left(\mathrm{1}\right)\:=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}\:=\mathrm{1}\:+\frac{{b}}{\mathrm{2}}\:−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}\:\Rightarrow\mathrm{1}\:=\mathrm{4}+\mathrm{2}{b}−\mathrm{1}\:=\mathrm{3}+\mathrm{2}{b}\:\Rightarrow\mathrm{2}{b}=−\mathrm{2}\:\Rightarrow{b}=−\mathrm{1}\:\Rightarrow \\ $$$${F}\left({x}\right)\:=\frac{\mathrm{1}}{{x}}\:−\frac{\mathrm{1}}{{x}+\mathrm{1}}\:−\frac{\mathrm{1}}{\left({x}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }\:\Rightarrow \\ $$$${I}\:=\sum_{{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \:\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{{n}} }{{n}}\:−\sum_{{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \:\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{{n}} }{{n}+\mathrm{1}}\:−\sum_{{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \:\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{{n}} }{\left({n}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }\:{but} \\ $$$$\sum_{{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \:\:\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{{n}} }{{n}}\:=−{ln}\left(\mathrm{2}\right) \\ $$$$\sum_{{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \:\:\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{{n}} }{{n}+\mathrm{1}}\:=\sum_{{n}=\mathrm{2}} ^{\infty} \:\:\:\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{{n}−\mathrm{1}} }{{n}}\:\:=\:{ln}\left(\mathrm{2}\right)−\mathrm{1} \\ $$$$\sum_{{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \:\:\frac{\mathrm{1}}{\left({n}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }\:=\sum_{{n}=\mathrm{2}} ^{\infty} \:\:\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{{n}} }{{n}^{\mathrm{2}} }\:=\:\sum_{{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \:\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{{n}} }{{n}^{\mathrm{2}} }\:+\mathrm{1}\:\:{let}\:{find}\:\sum_{{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \:\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{{n}} }{{n}^{\mathrm{2}} } \\ $$$${we}\:{have}\:\sum_{{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \:\:\:\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{{n}} }{{n}^{\mathrm{2}} }\:=\sum_{{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \:\frac{\mathrm{1}}{\left(\mathrm{2}{n}\right)^{\mathrm{2}} }\:−\sum_{{n}=\mathrm{0}} ^{\infty} \:\frac{\mathrm{1}}{\left(\mathrm{2}{n}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} } \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}\:\frac{\pi^{\mathrm{2}} }{\mathrm{6}}\:−\sum_{{n}=\mathrm{0}} ^{\infty} \:\:\frac{\mathrm{1}}{\left(\mathrm{2}{n}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }\:{but}\:\sum_{{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \:\frac{\mathrm{1}}{{n}^{\mathrm{2}} }\:=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}\:\sum_{{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \:\frac{\mathrm{1}}{{n}^{\mathrm{2}} }\:+\sum_{{n}=\mathrm{0}} ^{\infty} \:\frac{\mathrm{1}}{\left(\mathrm{2}{n}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }\:\Rightarrow \\ $$$$\sum_{{n}=\mathrm{0}} ^{\infty} \:\frac{\mathrm{1}}{\left(\mathrm{2}{n}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }\:=\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{4}}\:\Sigma\:\frac{\mathrm{1}}{{n}^{\mathrm{2}} }\:=\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{4}}\:\frac{\pi^{\mathrm{2}} }{\mathrm{6}}\:=\frac{\pi^{\mathrm{2}} }{\mathrm{8}}\:\Rightarrow\sum_{{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{{n}} }{{n}^{\mathrm{2}} }\:=\frac{\pi^{\mathrm{2}} }{\mathrm{24}}\:−\frac{\pi^{\mathrm{2}} }{\mathrm{8}}\:=−\frac{\pi^{\mathrm{2}} }{\mathrm{12}}\:\Rightarrow \\ $$$$\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} {ln}\left({x}\right){ln}\left(\mathrm{1}+{x}\right){dx}\:=−{ln}\left(\mathrm{2}\right)−{ln}\left(\mathrm{2}\right)+\mathrm{1}\:−\left(−\frac{\pi^{\mathrm{2}} }{\mathrm{12}}+\mathrm{1}\right) \\ $$$$=\frac{\pi^{\mathrm{2}} }{\mathrm{12}}\:−\mathrm{2}{ln}\left(\mathrm{2}\right)\:. \\ $$$$ \\ $$
Answered by tanmay.chaudhury50@gmail.com last updated on 11/Oct/18
Commented by tanmay.chaudhury50@gmail.com last updated on 11/Oct/18
$$\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} {ln}\left(\mathrm{1}+{x}\right)×{ln}\left({x}\right){dx}\:\:\approx−\mathrm{0}.\mathrm{21}\left({approx}\right) \\ $$