Question Number 146898 by mathmax by abdo last updated on 16/Jul/21
$$\mathrm{calculate}\:\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \:\:\:\frac{\mathrm{cosx}}{\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{2}\right)\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{3}\right)}\mathrm{dx} \\ $$
Answered by qaz last updated on 16/Jul/21
$$\mathscr{L}\left(\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \frac{\mathrm{cos}\:\left(\mathrm{tx}\right)}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{a}^{\mathrm{2}} }\mathrm{dx}\right)\left(\mathrm{s}\right)………\left(\mathrm{a}>\mathrm{0}\right) \\ $$$$=\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \frac{\mathrm{s}}{\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{a}^{\mathrm{2}} \right)\left(\mathrm{s}^{\mathrm{2}} +\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \right)}\mathrm{dx} \\ $$$$=\frac{\mathrm{s}}{\mathrm{s}^{\mathrm{2}} −\mathrm{a}^{\mathrm{2}} }\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{a}^{\mathrm{2}} }−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{s}^{\mathrm{2}} +\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }\right)\mathrm{dx} \\ $$$$=\frac{\mathrm{s}}{\mathrm{s}^{\mathrm{2}} −\mathrm{a}^{\mathrm{2}} }\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{a}}\mathrm{tan}^{−\mathrm{1}} \frac{\mathrm{x}}{\mathrm{a}}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{s}}\mathrm{tan}^{−\mathrm{1}} \frac{\mathrm{x}}{\mathrm{s}}\right)\mid_{\mathrm{0}} ^{\infty} \\ $$$$=\frac{\pi}{\mathrm{2a}\left(\mathrm{s}+\mathrm{a}\right)} \\ $$$$\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \frac{\mathrm{cos}\:\mathrm{x}}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{a}^{\mathrm{2}} }\mathrm{dx}=\mathscr{L}^{−\mathrm{1}} \left(\frac{\pi}{\mathrm{2a}\left(\mathrm{s}+\mathrm{a}\right)}\right)\left(\mathrm{t}=\mathrm{1}\right)=\frac{\pi}{\mathrm{2a}}\mathrm{e}^{−\mathrm{at}} \mid_{\mathrm{t}=\mathrm{1}} =\frac{\pi}{\mathrm{2a}}\mathrm{e}^{−\mathrm{a}} \\ $$$$\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \frac{\mathrm{cos}\:\mathrm{x}}{\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{2}\right)\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{3}\right)}\mathrm{dx} \\ $$$$=\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \left(\frac{\mathrm{cos}\:\mathrm{x}}{\mathrm{2}\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}\right)}−\frac{\mathrm{cos}\:\mathrm{x}}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{2}}+\frac{\mathrm{cos}\:\mathrm{x}}{\mathrm{2}\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{3}\right)}\right)\mathrm{dx} \\ $$$$=\frac{\pi}{\mathrm{4}}\mathrm{e}^{−\mathrm{1}} −\frac{\pi}{\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{2}}}\mathrm{e}^{−\sqrt{\mathrm{2}}} +\frac{\pi}{\:\mathrm{4}\sqrt{\mathrm{3}}}\mathrm{e}^{−\sqrt{\mathrm{3}}} \\ $$
Commented by mathmax by abdo last updated on 16/Jul/21
$$\mathrm{thank}\:\mathrm{sir}\:\mathrm{answer}\:\mathrm{correct}.. \\ $$
Answered by mathmax by abdo last updated on 16/Jul/21
$$\Upsilon=\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \:\frac{\mathrm{cosx}}{\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{2}\right)\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{3}\right)}\mathrm{dx}\:\Rightarrow\mathrm{2}\Upsilon=\mathrm{Re}\left(\int_{−\infty} ^{+\infty} \:\frac{\mathrm{e}^{\mathrm{ix}} }{\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{2}\right)\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{3}\right)}\right) \\ $$$$\mathrm{let}\:\Lambda\left(\mathrm{z}\right)=\frac{\mathrm{e}^{\mathrm{iz}} }{\left(\mathrm{z}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{z}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{2}\right)\left(\mathrm{z}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{3}\right)}\:\Rightarrow\Lambda\left(\mathrm{z}\right)=\frac{\mathrm{e}^{\mathrm{iz}} }{\left(\mathrm{z}−\mathrm{i}\right)\left(\mathrm{z}+\mathrm{i}\right)\left(\mathrm{z}−\sqrt{\mathrm{2}}\mathrm{i}\right)\left(\mathrm{z}+\sqrt{\mathrm{2}}\mathrm{i}\right)\left(\mathrm{z}−\mathrm{i}\sqrt{\mathrm{3}}\right)\left(\mathrm{z}+\mathrm{i}\sqrt{\mathrm{3}}\right)} \\ $$$$\int_{\mathrm{R}} \Lambda\left(\mathrm{z}\right)\mathrm{dz}=\mathrm{2i}\pi\:\left\{\mathrm{Res}\left(\Lambda,\mathrm{i}\right)+\mathrm{Res}\left(\Lambda,\mathrm{i}\sqrt{\mathrm{2}}\right)+\mathrm{Res}\left(\Lambda,\mathrm{i}\sqrt{\mathrm{3}}\right)\right\} \\ $$$$\mathrm{Res}\left(\Lambda,\mathrm{i}\right)=\frac{\mathrm{e}^{−\mathrm{1}} }{\left(\mathrm{2i}\right)\left(−\mathrm{1}+\mathrm{2}\right)\left(−\mathrm{1}+\mathrm{3}\right)}=\frac{\mathrm{e}^{−\mathrm{1}} }{\mathrm{4i}} \\ $$$$\mathrm{Res}\left(\Lambda,\mathrm{i}\sqrt{\mathrm{2}}\right)\:=\frac{\mathrm{e}^{−\sqrt{\mathrm{2}}} }{\left(\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{2}}\right)\mathrm{i}\left(−\mathrm{2}+\mathrm{1}\right)\left(−\mathrm{2}+\mathrm{3}\right)}\:=−\frac{\mathrm{e}^{−\sqrt{\mathrm{2}}} }{\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{2}}\mathrm{i}} \\ $$$$\mathrm{Res}\left(\Lambda,\mathrm{i}\sqrt{\mathrm{3}}\right)\:=\frac{\mathrm{e}^{−\sqrt{\mathrm{3}}} }{\left(\mathrm{2i}\sqrt{\mathrm{3}}\right)\left(−\mathrm{3}+\mathrm{1}\right)\left(−\mathrm{3}+\mathrm{2}\right)}=\frac{\mathrm{e}^{−\sqrt{\mathrm{3}}} }{\mathrm{4i}\sqrt{\mathrm{3}}}\:\Rightarrow \\ $$$$\int_{\mathrm{R}} \Lambda\left(\mathrm{z}\right)\mathrm{dz}=\mathrm{2i}\pi\left\{\frac{\mathrm{e}^{−\mathrm{1}} }{\mathrm{4i}}−\frac{\mathrm{e}^{−\sqrt{\mathrm{2}}} }{\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{2}}\mathrm{i}}+\frac{\mathrm{e}^{−\sqrt{\mathrm{3}}} }{\mathrm{4i}\sqrt{\mathrm{3}}}\right\} \\ $$$$=\frac{\pi}{\mathrm{2}}\mathrm{e}^{−\mathrm{1}} −\frac{\pi}{\:\sqrt{\mathrm{2}}}\mathrm{e}^{−\sqrt{\mathrm{2}}} \:\:\:+\frac{\pi}{\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{3}}}\mathrm{e}^{−\sqrt{\mathrm{3}}} \:\:\Rightarrow \\ $$$$\Upsilon=\frac{\pi}{\mathrm{4}}\mathrm{e}^{−\mathrm{1}} \:−\frac{\pi}{\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{2}}}\mathrm{e}^{−\sqrt{\mathrm{2}}} \:\:+\frac{\pi}{\mathrm{4}\sqrt{\mathrm{3}}}\mathrm{e}^{−\sqrt{\mathrm{3}}} \\ $$