Question Number 89714 by abdomathmax last updated on 18/Apr/20
$${calculate}\:\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \:\:\:\frac{{dx}}{\left(\mathrm{1}+\sqrt{\mathrm{2}+{x}^{\mathrm{2}} }\right)^{\mathrm{2}} } \\ $$
Commented by mathmax by abdo last updated on 19/Apr/20
$${parametric}\:{method}\:{let}\:{f}\left({t}\right)=\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \:\:\frac{{dx}}{{t}+\sqrt{\mathrm{2}+{x}^{\mathrm{2}} }}\:\:{with}\:{t}>\mathrm{0} \\ $$$${f}^{'} \left({t}\right)=−\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \:\:\frac{{dx}}{\left({t}+\sqrt{\mathrm{2}+{x}^{\mathrm{2}} }\right)^{\mathrm{2}} }\:\Rightarrow\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \:\frac{{dx}}{\left({t}+\sqrt{\mathrm{2}+{x}^{\mathrm{2}} }\right)^{\mathrm{2}} }\:=−{f}^{'} \left({t}\right) \\ $$$$\:{changement}\:{x}\:=\sqrt{\mathrm{2}}{sh}\left({u}\right)\:{give} \\ $$$${f}\left({t}\right)=\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \:\:\frac{\sqrt{\mathrm{2}}{ch}\left({u}\right){du}}{{t}\:+\sqrt{\mathrm{2}}{ch}\left({u}\right)}\:=\sqrt{\mathrm{2}}\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \:\:\frac{\frac{{e}^{{u}} +{e}^{−{u}} }{\mathrm{2}}}{{t}+\sqrt{\mathrm{2}}×\frac{{e}^{{u}} +{e}^{−{u}} }{\mathrm{2}}}{du} \\ $$$$=\sqrt{\mathrm{2}}\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \:\:\frac{{e}^{{u}} +{e}^{−{u}} }{\mathrm{2}{t}+\sqrt{\mathrm{2}}{e}^{{u}} \:+\sqrt{\mathrm{2}}{e}^{−{u}} }{du}\:=_{{e}^{{u}} ={z}} \:\:\sqrt{\mathrm{2}}\int_{\mathrm{1}} ^{\infty} \:\:\frac{{z}+{z}^{−\mathrm{1}} }{\mathrm{2}{t}+\sqrt{\mathrm{2}}{z}\:+\sqrt{\mathrm{2}}{z}^{−\mathrm{1}} }×\frac{{dz}}{{z}} \\ $$$$=\sqrt{\mathrm{2}}\int_{\mathrm{1}} ^{+\infty} \:\:\frac{{z}+{z}^{−\mathrm{1}} }{\mathrm{2}{tz}\:+\sqrt{\mathrm{2}}{z}^{\mathrm{2}} \:+\sqrt{\mathrm{2}}}\:{dz} \\ $$$$=\sqrt{\mathrm{2}}\int_{\mathrm{1}} ^{+\infty} \:\:\frac{{z}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{1}}{{z}\left(\sqrt{\mathrm{2}}{z}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{2}{tz}\:+\sqrt{\mathrm{2}}\right)}{dz}\:{decoposition}\:{of}\:{g}\left({z}\right)=\frac{{z}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{1}}{{z}\left(\sqrt{\mathrm{2}}{z}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{2}{tz}\:+\sqrt{\mathrm{2}}\right)} \\ $$$$\sqrt{\mathrm{2}}{z}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{2}{tz}\:+\sqrt{\mathrm{2}}=\mathrm{0}\:\rightarrow\Delta^{'} ={t}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2}<\mathrm{0}\:\:{if}\:{t}<\sqrt{\mathrm{2}} \\ $$$${z}_{\mathrm{1}} =\frac{−{t}+{i}\sqrt{\mathrm{2}−{t}^{\mathrm{2}} }}{\:\sqrt{\mathrm{2}}}\:\:{and}\:{z}_{\mathrm{2}} =\frac{−{t}−{i}\sqrt{\mathrm{2}−{t}^{\mathrm{2}} }}{\:\sqrt{\mathrm{2}}} \\ $$$${g}\left({z}\right)=\frac{{z}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{2}}{z}\left({z}−{z}_{\mathrm{1}} \right)\left({z}−{z}_{\mathrm{2}} \right)}\:=\frac{{a}}{{z}}\:+\frac{{b}}{{z}−{z}_{\mathrm{1}} }\:+\frac{{c}}{{z}−{z}_{\mathrm{2}} } \\ $$$${a}\:=\frac{\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{2}}{z}_{\mathrm{1}} {z}_{\mathrm{2}} }\:=\frac{\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{2}}}\:\:\:,{b}\:=\frac{{z}_{\mathrm{1}} ^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{2}}{z}_{\mathrm{1}} \sqrt{\mathrm{2}}{i}\sqrt{\mathrm{2}−{t}^{\mathrm{2}} }}\:=\frac{\mathrm{1}+{z}_{\mathrm{1}} ^{\mathrm{2}} }{\mathrm{2}{iz}_{\mathrm{1}} \sqrt{\mathrm{2}−{t}^{\mathrm{2}} }} \\ $$$${b}=\frac{{z}_{\mathrm{2}} ^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{2}}{z}_{\mathrm{2}} \left(−\sqrt{\mathrm{2}}{i}\sqrt{\mathrm{2}−{t}^{\mathrm{2}} }\right)}\:=\frac{\mathrm{1}+{z}_{\mathrm{2}} ^{\mathrm{2}} }{−\mathrm{2}{iz}_{\mathrm{2}} \sqrt{\mathrm{2}−{t}^{\mathrm{2}} }}\:\Rightarrow \\ $$$$\int_{\mathrm{1}} ^{+\infty} {g}\left({z}\right){dz}\:=\int_{\mathrm{1}} ^{+\infty} \left(\frac{{a}}{{z}}+\frac{{b}}{{z}−{z}_{\mathrm{1}} }\:+\frac{{c}}{{z}−{z}_{\mathrm{2}} }\right){dz} \\ $$$$=\left[{aln}\mid{z}\mid\:+{bln}\mid{z}−{z}_{\mathrm{1}} \mid\:+{cln}\mid{z}−{z}_{\mathrm{2}} \mid\right]_{\mathrm{1}} ^{+\infty} \:{rest}\:{to}\:{simplify}\:{b}\:{and}\:{c} \\ $$$${be}\:{continued}… \\ $$
Answered by MJS last updated on 18/Apr/20
$$\int\frac{{dx}}{\left(\mathrm{1}+\sqrt{{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{2}}\right)^{\mathrm{2}} }= \\ $$$$\:\:\:\:\:\left[{t}=\frac{{x}+\sqrt{{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{2}}}{\:\sqrt{\mathrm{2}}}\:\rightarrow\:{dx}=\frac{\sqrt{\mathrm{2}\left({x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{2}\right)}}{{x}+\sqrt{{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{2}}}{dt}\right] \\ $$$$=\sqrt{\mathrm{2}}\int\frac{{t}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}}{\left({t}^{\mathrm{2}} +\sqrt{\mathrm{2}}{t}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }{dt}= \\ $$$$\:\:\:\:\:\left[\mathrm{Ostrogradski}\right] \\ $$$$=\frac{\sqrt{\mathrm{2}}{t}+\mathrm{2}}{{t}^{\mathrm{2}} +\sqrt{\mathrm{2}}{t}+\mathrm{1}}+\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{2}}\int\frac{{dt}}{{t}^{\mathrm{2}} +\sqrt{\mathrm{2}}{t}+\mathrm{1}}= \\ $$$$=\frac{\sqrt{\mathrm{2}}{t}+\mathrm{2}}{{t}^{\mathrm{2}} +\sqrt{\mathrm{2}}{t}+\mathrm{1}}+\mathrm{4arctan}\:\left(\sqrt{\mathrm{2}}{t}+\mathrm{1}\right)\:= \\ $$$$=\frac{{x}^{\mathrm{2}} +{x}+\mathrm{1}−{x}\sqrt{{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{2}}}{{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}}+\mathrm{4arctan}\:\left({x}+\mathrm{1}+\sqrt{{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{2}}\right)\:+{C} \\ $$$$\Rightarrow \\ $$$$\underset{\mathrm{0}} {\overset{\infty} {\int}}\frac{{dx}}{\left(\mathrm{1}+\sqrt{{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{2}}\right)^{\mathrm{2}} }=\frac{\pi}{\mathrm{2}}−\mathrm{1} \\ $$
Commented by turbo msup by abdo last updated on 18/Apr/20
$${thank}\:{you}\:{sir}. \\ $$