Question Number 51324 by Abdo msup. last updated on 25/Dec/18
$${calculate}\:\int_{\mathrm{0}} ^{+\infty} \:\:\:\:\:\frac{{dx}}{\mathrm{1}+{x}^{\mathrm{2}\:} \:+{x}^{\mathrm{4}} } \\ $$
Answered by tanmay.chaudhury50@gmail.com last updated on 26/Dec/18
$$\int\frac{{dx}}{{x}^{\mathrm{4}} +{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}} \\ $$$$\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\int\frac{\frac{\mathrm{2}}{{x}^{\mathrm{2}} }}{{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}+\frac{\mathrm{1}}{{x}^{\mathrm{2}} }} \\ $$$$\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\int\frac{\left(\mathrm{1}+\frac{\mathrm{1}}{{x}^{\mathrm{2}} }\right)−\left(\mathrm{1}−\frac{\mathrm{1}}{{x}^{\mathrm{2}} }\right)}{\left({x}^{\mathrm{2}} +\frac{\mathrm{1}}{{x}^{\mathrm{2}} }+\mathrm{1}\right)}{dx} \\ $$$$\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\int\frac{{d}\left({x}−\frac{\mathrm{1}}{{x}}\right)}{\left({x}−\frac{\mathrm{1}}{{x}}\right)^{\mathrm{2}} +\mathrm{3}}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\int\frac{{d}\left({x}+\frac{\mathrm{1}}{{x}}\right)}{\left({x}+\frac{\mathrm{1}}{{x}}\right)^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}} \\ $$$$\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}×\frac{\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{3}}}{tan}^{−\mathrm{1}} \left(\frac{{x}−\frac{\mathrm{1}}{{x}}}{\:\sqrt{\mathrm{3}}}\right)−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}×\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}{ln}\left(\frac{{x}+\frac{\mathrm{1}}{{x}}−\mathrm{1}}{{x}+\frac{\mathrm{1}}{{x}}+\mathrm{1}}\right)+{c}_{\mathrm{1}} \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{3}}}×{tan}^{−\mathrm{1}} \left(\frac{{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}}{{x}\sqrt{\mathrm{3}}}\right)−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}{ln}\left(\frac{{x}^{\mathrm{2}} −{x}+\mathrm{1}}{{x}^{\mathrm{2}} +{x}+\mathrm{1}}\right)+{c}_{\mathrm{1}} \\ $$$${required}\:{answer} \\ $$$$=\mid\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{3}}}{tan}^{−\mathrm{1}} \left(\frac{{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}}{{x}\sqrt{\mathrm{3}}}\right)−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}{ln}\left(\frac{\mathrm{1}−\frac{\mathrm{1}}{{x}}+\frac{\mathrm{1}}{{x}^{\mathrm{2}} }}{\mathrm{1}+\frac{\mathrm{1}}{{x}}+\frac{\mathrm{1}}{{x}^{\mathrm{2}} }}\right)\mid_{\mathrm{0}} ^{\infty} \\ $$$$=\mid\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{3}}}{tan}^{−\mathrm{1}} \left(\frac{\mathrm{1}−\frac{\mathrm{1}}{{x}^{\mathrm{2}} }}{\frac{\sqrt{\mathrm{3}}}{{x}}}\right)−{do}\mid_{\mathrm{0}} ^{\infty} \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{3}}}\left[{tan}^{−\mathrm{1}} \left(\frac{\mathrm{1}−\mathrm{0}}{\mathrm{0}}\right)−{tan}^{−\mathrm{1}} \left(\frac{\mathrm{0}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}}{\mathrm{0}×\sqrt{\mathrm{3}}}\right)\right]−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}\left[{ln}\left(\frac{\mathrm{1}−\mathrm{0}+\mathrm{0}}{\mathrm{1}+\mathrm{0}+\mathrm{0}}\right)−{ln}\left(\frac{\mathrm{0}^{\mathrm{2}} −\mathrm{0}+\mathrm{1}}{\mathrm{0}^{\mathrm{2}} +\mathrm{0}+\mathrm{1}}\right)\right] \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{3}}}\left[{tan}\left(\infty\right)−{tan}^{−\mathrm{1}} \left(−\infty\right)\right]−{do} \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{3}}}\left[\frac{\pi}{\mathrm{2}}−\left(\frac{−\pi}{\mathrm{2}}\right)\right] \\ $$$$=\frac{\pi}{\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{3}}} \\ $$$$ \\ $$
Commented by peter frank last updated on 26/Dec/18
$${nice}\:{work}\:{sir} \\ $$
Answered by Smail last updated on 26/Dec/18
$$\frac{\mathrm{1}}{\left({x}^{\mathrm{2}} +{x}+\mathrm{1}\right)\left({x}^{\mathrm{2}} −{x}+\mathrm{1}\right)}=\frac{{ax}+{b}}{{x}^{\mathrm{2}} +{x}+\mathrm{1}}+\frac{{cx}+{d}}{{x}^{\mathrm{2}} −{x}+\mathrm{1}} \\ $$$${a}=−{c}\:\:,\:\:{d}=\mathrm{1}−{b} \\ $$$${b}=\mathrm{1}−{a} \\ $$$${a}={b}=−{c}={d}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\: \\ $$$${A}=\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \frac{{dx}}{\mathrm{1}+{x}^{\mathrm{2}} +{x}^{\mathrm{4}} }=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \frac{{x}+\mathrm{1}}{{x}^{\mathrm{2}} +{x}+\mathrm{1}}{dx}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \frac{{x}−\mathrm{1}}{{x}^{\mathrm{2}} −{x}+\mathrm{1}}{dx} \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \frac{\mathrm{2}{x}+\mathrm{1}+\mathrm{1}}{{x}^{\mathrm{2}} +{x}+\mathrm{1}}{dx}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \frac{\mathrm{2}{x}−\mathrm{1}−\mathrm{1}}{{x}^{\mathrm{2}} −{x}+\mathrm{1}}{dx} \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}\left[{ln}\mid\frac{{x}^{\mathrm{2}} +{x}+\mathrm{1}}{{x}^{\mathrm{2}} −{x}+\mathrm{1}}\mid\right]_{\mathrm{0}} ^{\infty} +\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \frac{{dx}}{\left({x}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\right)^{\mathrm{2}} +\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{4}}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \frac{{dx}}{\left({x}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\right)^{\mathrm{2}} +\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{4}}} \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \frac{{dx}}{\left(\frac{\mathrm{2}{x}+\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{3}}}\right)^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \frac{{dx}}{\left(\frac{\mathrm{2}{x}−\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{3}}}\right)^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}} \\ $$$${t}=\frac{\mathrm{2}{x}\underset{−} {+}\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{3}}}\Rightarrow{dx}=\frac{\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{2}}{dt} \\ $$$${A}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{3}}}\int_{\mathrm{1}/\sqrt{\mathrm{3}}} ^{\infty} \frac{{dt}}{{t}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{3}}}\int_{−\mathrm{1}/\sqrt{\mathrm{3}}} ^{\infty} \frac{{dt}}{{t}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}} \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{3}}}\left[{tan}^{−\mathrm{1}} \left({t}\right)\right]_{\mathrm{1}/\sqrt{\mathrm{3}}} ^{\infty} +\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{3}}}\left[{tan}^{−\mathrm{1}} \left({t}\right)\right]_{−\mathrm{1}/\sqrt{\mathrm{3}}} ^{\infty} \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{3}}}\left(\frac{\pi}{\mathrm{2}}−{tan}^{−\mathrm{1}} \left(\frac{\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{3}}\right)\right)+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{3}}}\left(\frac{\pi}{\mathrm{2}}+{tan}^{−\mathrm{1}} \left(\frac{\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{3}}\right)\right) \\ $$$$=\frac{\pi}{\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{3}}} \\ $$
Commented by peter frank last updated on 26/Dec/18
$${nice}\:{work}\:{sir} \\ $$