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Question Number 97620 by mathmax by abdo last updated on 08/Jun/20
calculate ∫_0 ^∞ ((sin(πx^2 ))/(x^4 −x^2 +1))dx
$$\mathrm{calculate}\:\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \:\frac{\mathrm{sin}\left(\pi\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \right)}{\mathrm{x}^{\mathrm{4}} −\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}}\mathrm{dx} \\ $$
Answered by mathmax by abdo last updated on 10/Jun/20
let I =∫_0 ^∞ ((sin(πx^2 ))/(x^4 −x^2 +1))dx ⇒2I =∫_(−∞) ^(+∞) ((sin(πx^2 ))/(x^4 −x^2 +1))dx =Im(∫_(−∞) ^(+∞) (e^(iπx^2 ) /(x^4 −x^2 +1))dx) let ϕ(z) =(e^(iπz^2 ) /(z^4 −x^2 +1)) poles of ϕ? z^4 −z^2 +1 =0⇒t^2 −t +1 =0 (t=z^2 ) Δ =−3 ⇒t_1 =((1+i(√3))/2) =e^((iπ)/3) and t_2 =((1−i(√3))/2) =e^(−((iπ)/3)) ⇒ ϕ(z) =(e^(iπz^2 ) /((z^2 −e^((iπ)/3) )(z^2 −e^(−((iπ)/3)) ))) =(e^(iπz^2 ) /((z−e^((iπ)/6) )(z+e^((iπ)/6) )(z−e^(−((iπ)/6)) )(z+e^(−((iπ)/6)) ))) residus theorem give ∫_(−∞) ^(+∞) ϕ(z)dz =2iπ{ Res(ϕ,e^((iπ)/6) ) +Res(ϕ,−e^(−((iπ)/6)) )} Res(ϕ,e^((iπ)/6) ) =lim_(z→e^((iπ)/6) ) (z−e^((iπ)/6) )ϕ(z) =(e^(iπe^((iπ)/3) ) /(2e^((iπ)/6) (2isin((π/3))))) =(e^(iπ((1/2)+((i(√3))/2))) /(4i×((√3)/2))) e^(−((iπ)/6)) =(1/(2i(√3))) e^(−((iπ)/6)) i . e^(−((π(√3))/4)) =(1/(2(√3))) e^(−((π(√3))/4)) e^(−((iπ)/6)) Res(ϕ,−e^(−((iπ)/6)) ) =(e^(iπe^(−((iπ)/3)) ) /(−2e^(−((iπ)/6)) (−2i sin((π/3))))) =(1/(4i×((√3)/2))) e^((iπ)/6) e^(iπ((1/2)−((i(√3))/2))) =(1/(2i(√3))) .i .e^((π(√3))/4) e^((iπ)/6) =(1/(2(√3))) e^((π(√3))/4) e^((iπ)/6) ⇒ ∫_(−∞) ^(+∞) ϕ(z)dz =2iπ{ (1/(2(√3))) e^(−((π(√3))/4)) e^(−((iπ)/6)) +(1/(2(√3))) e^((π(√3))/4) e^((iπ)/6) } =((iπ)/( (√3))){ e^(−((π(√3))/2)) (((√3)/2)−(i/2)) +e^((π(√3))/4) (((√3)/2)+(i/2))} =((iπ)/( (√3))){ ((√3)/2) e^(−((π(√3))/4)) −(i/2) e^(−((π(√3))/4)) +((√3)/2) e^((π(√3))/4) +(i/2) e^((π(√3))/4) } =((iπ)/2) e^(−((π(√3))/4)) +((iπ)/2) e^((π(√3))/4) +(...) ⇒Im(∫_(−∞) ^(+∞) ϕ(z)dz =(π/2) (e^((π(√3))/4) +e^(−((π(√3))/4)) ) =2I ⇒ ★I =(π/4)( e^((π(√3))/4) +e^(−((π(√3))/4)) )★
$$\mathrm{let}\:\mathrm{I}\:=\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \:\frac{\mathrm{sin}\left(\pi\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \right)}{\mathrm{x}^{\mathrm{4}} −\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{1}}\mathrm{dx}\:\Rightarrow\mathrm{2I}\:=\int_{−\infty} ^{+\infty} \:\frac{\mathrm{sin}\left(\pi\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \right)}{\mathrm{x}^{\mathrm{4}} −\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}}\mathrm{dx}\:=\mathrm{Im}\left(\int_{−\infty} ^{+\infty} \:\frac{\mathrm{e}^{\mathrm{i}\pi\mathrm{x}^{\mathrm{2}} } }{\mathrm{x}^{\mathrm{4}} −\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{1}}\mathrm{dx}\right) \\ $$$$\mathrm{let}\:\varphi\left(\mathrm{z}\right)\:=\frac{\mathrm{e}^{\mathrm{i}\pi\mathrm{z}^{\mathrm{2}} } }{\mathrm{z}^{\mathrm{4}} −\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{1}}\:\:\mathrm{poles}\:\mathrm{of}\:\varphi? \\ $$$$\mathrm{z}^{\mathrm{4}} −\mathrm{z}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{1}\:=\mathrm{0}\Rightarrow\mathrm{t}^{\mathrm{2}} −\mathrm{t}\:+\mathrm{1}\:=\mathrm{0}\:\:\:\left(\mathrm{t}=\mathrm{z}^{\mathrm{2}} \right) \\ $$$$\Delta\:=−\mathrm{3}\:\Rightarrow\mathrm{t}_{\mathrm{1}} =\frac{\mathrm{1}+\mathrm{i}\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{2}}\:=\mathrm{e}^{\frac{\mathrm{i}\pi}{\mathrm{3}}} \:\mathrm{and}\:\mathrm{t}_{\mathrm{2}} =\frac{\mathrm{1}−\mathrm{i}\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{2}}\:=\mathrm{e}^{−\frac{\mathrm{i}\pi}{\mathrm{3}}} \:\Rightarrow \\ $$$$\varphi\left(\mathrm{z}\right)\:=\frac{\mathrm{e}^{\mathrm{i}\pi\mathrm{z}^{\mathrm{2}} } }{\left(\mathrm{z}^{\mathrm{2}} −\mathrm{e}^{\frac{\mathrm{i}\pi}{\mathrm{3}}} \right)\left(\mathrm{z}^{\mathrm{2}} −\mathrm{e}^{−\frac{\mathrm{i}\pi}{\mathrm{3}}} \right)}\:=\frac{\mathrm{e}^{\mathrm{i}\pi\mathrm{z}^{\mathrm{2}} } }{\left(\mathrm{z}−\mathrm{e}^{\frac{\mathrm{i}\pi}{\mathrm{6}}} \right)\left(\mathrm{z}+\mathrm{e}^{\frac{\mathrm{i}\pi}{\mathrm{6}}} \right)\left(\mathrm{z}−\mathrm{e}^{−\frac{\mathrm{i}\pi}{\mathrm{6}}} \right)\left(\mathrm{z}+\mathrm{e}^{−\frac{\mathrm{i}\pi}{\mathrm{6}}} \right)} \\ $$$$\mathrm{residus}\:\mathrm{theorem}\:\mathrm{give}\: \\ $$$$\int_{−\infty} ^{+\infty} \:\varphi\left(\mathrm{z}\right)\mathrm{dz}\:=\mathrm{2i}\pi\left\{\:\mathrm{Res}\left(\varphi,\mathrm{e}^{\frac{\mathrm{i}\pi}{\mathrm{6}}} \right)\:+\mathrm{Res}\left(\varphi,−\mathrm{e}^{−\frac{\mathrm{i}\pi}{\mathrm{6}}} \right)\right\} \\ $$$$\mathrm{Res}\left(\varphi,\mathrm{e}^{\frac{\mathrm{i}\pi}{\mathrm{6}}} \right)\:=\mathrm{lim}_{\mathrm{z}\rightarrow\mathrm{e}^{\frac{\mathrm{i}\pi}{\mathrm{6}}} } \:\:\left(\mathrm{z}−\mathrm{e}^{\frac{\mathrm{i}\pi}{\mathrm{6}}} \right)\varphi\left(\mathrm{z}\right)\:=\frac{\mathrm{e}^{\mathrm{i}\pi\mathrm{e}^{\frac{\mathrm{i}\pi}{\mathrm{3}}} } }{\mathrm{2e}^{\frac{\mathrm{i}\pi}{\mathrm{6}}} \left(\mathrm{2isin}\left(\frac{\pi}{\mathrm{3}}\right)\right)}\:=\frac{\mathrm{e}^{\mathrm{i}\pi\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}+\frac{\mathrm{i}\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{2}}\right)} }{\mathrm{4i}×\frac{\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{2}}}\:\mathrm{e}^{−\frac{\mathrm{i}\pi}{\mathrm{6}}} \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2i}\sqrt{\mathrm{3}}}\:\mathrm{e}^{−\frac{\mathrm{i}\pi}{\mathrm{6}}} \:\:\mathrm{i}\:.\:\:\mathrm{e}^{−\frac{\pi\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{4}}} \:=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{3}}}\:\mathrm{e}^{−\frac{\pi\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{4}}} \:\mathrm{e}^{−\frac{\mathrm{i}\pi}{\mathrm{6}}} \\ $$$$\mathrm{Res}\left(\varphi,−\mathrm{e}^{−\frac{\mathrm{i}\pi}{\mathrm{6}}} \right)\:=\frac{\mathrm{e}^{\mathrm{i}\pi\mathrm{e}^{−\frac{\mathrm{i}\pi}{\mathrm{3}}} } }{−\mathrm{2e}^{−\frac{\mathrm{i}\pi}{\mathrm{6}}} \left(−\mathrm{2i}\:\mathrm{sin}\left(\frac{\pi}{\mathrm{3}}\right)\right)}\:=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4i}×\frac{\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{2}}}\:\mathrm{e}^{\frac{\mathrm{i}\pi}{\mathrm{6}}} \:\:\mathrm{e}^{\mathrm{i}\pi\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}−\frac{\mathrm{i}\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{2}}\right)} \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2i}\sqrt{\mathrm{3}}}\:.\mathrm{i}\:.\mathrm{e}^{\frac{\pi\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{4}}} \:\mathrm{e}^{\frac{\mathrm{i}\pi}{\mathrm{6}}} \:=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{3}}}\:\mathrm{e}^{\frac{\pi\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{4}}} \:\mathrm{e}^{\frac{\mathrm{i}\pi}{\mathrm{6}}} \:\Rightarrow \\ $$$$\int_{−\infty} ^{+\infty} \:\varphi\left(\mathrm{z}\right)\mathrm{dz}\:=\mathrm{2i}\pi\left\{\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{3}}}\:\mathrm{e}^{−\frac{\pi\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{4}}} \mathrm{e}^{−\frac{\mathrm{i}\pi}{\mathrm{6}}} \:+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{3}}}\:\mathrm{e}^{\frac{\pi\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{4}}} \:\mathrm{e}^{\frac{\mathrm{i}\pi}{\mathrm{6}}} \right\} \\ $$$$=\frac{\mathrm{i}\pi}{\:\sqrt{\mathrm{3}}}\left\{\:\mathrm{e}^{−\frac{\pi\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{2}}} \:\left(\frac{\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{2}}−\frac{\mathrm{i}}{\mathrm{2}}\right)\:+\mathrm{e}^{\frac{\pi\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{4}}} \left(\frac{\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{2}}+\frac{\mathrm{i}}{\mathrm{2}}\right)\right\} \\ $$$$=\frac{\mathrm{i}\pi}{\:\sqrt{\mathrm{3}}}\left\{\:\frac{\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{2}}\:\mathrm{e}^{−\frac{\pi\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{4}}} \:−\frac{\mathrm{i}}{\mathrm{2}}\:\mathrm{e}^{−\frac{\pi\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{4}}} \:+\frac{\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{2}}\:\mathrm{e}^{\frac{\pi\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{4}}} \:+\frac{\mathrm{i}}{\mathrm{2}}\:\mathrm{e}^{\frac{\pi\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{4}}} \:\right\} \\ $$$$=\frac{\mathrm{i}\pi}{\mathrm{2}}\:\mathrm{e}^{−\frac{\pi\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{4}}} \:+\frac{\mathrm{i}\pi}{\mathrm{2}}\:\mathrm{e}^{\frac{\pi\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{4}}} \:+\left(…\right)\:\Rightarrow\mathrm{Im}\left(\int_{−\infty} ^{+\infty} \:\varphi\left(\mathrm{z}\right)\mathrm{dz}\:=\frac{\pi}{\mathrm{2}}\:\left(\mathrm{e}^{\frac{\pi\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{4}}} \:+\mathrm{e}^{−\frac{\pi\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{4}}} \right)\:=\mathrm{2I}\:\Rightarrow\right. \\ $$$$\bigstar\mathrm{I}\:=\frac{\pi}{\mathrm{4}}\left(\:\mathrm{e}^{\frac{\pi\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{4}}} \:+\mathrm{e}^{−\frac{\pi\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{4}}} \right)\bigstar \\ $$

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