Question Number 98589 by mathmax by abdo last updated on 14/Jun/20
$$\mathrm{calculate}\:\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \:\:\frac{\mathrm{sin}\left(\alpha\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \right)}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{4}}\mathrm{dx}\:\:\mathrm{with}\:\alpha\:\mathrm{real} \\ $$
Answered by mathmax by abdo last updated on 15/Jun/20
$$\mathrm{let}\:\mathrm{I}\:=\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \:\frac{\mathrm{sin}\left(\alpha\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \right)}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{4}}\mathrm{dx}\:\Rightarrow\mathrm{2I}\:=\int_{−\infty} ^{+\infty} \:\frac{\mathrm{sin}\left(\alpha\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \right)}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{4}}\mathrm{dx}\:=\mathrm{Im}\left(\int_{−\infty} ^{+\infty} \:\frac{\mathrm{e}^{\mathrm{i}\alpha\mathrm{x}^{\mathrm{2}} } }{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{4}}\mathrm{dx}\right) \\ $$$$\mathrm{let}\:\varphi\left(\mathrm{z}\right)\:=\:\frac{\mathrm{e}^{\mathrm{i}\alpha\mathrm{z}^{\mathrm{2}} } }{\mathrm{z}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{4}}\:\:\mathrm{we}\:\mathrm{can}\:\mathrm{verify}\:\mathrm{lim}_{\mathrm{z}\rightarrow\infty} \mid\mathrm{z}\varphi\left(\mathrm{z}\right)\mid=\mathrm{0}\:\:\mathrm{and} \\ $$$$\varphi\left(\mathrm{z}\right)\:=\frac{\mathrm{e}^{\mathrm{i}\alpha\mathrm{z}^{\mathrm{2}} } }{\left(\mathrm{z}−\mathrm{2i}\right)\left(\mathrm{z}+\mathrm{2i}\right)}\:\mathrm{residus}\:\mathrm{theorem}\:\mathrm{give}\: \\ $$$$\int_{−\infty} ^{+\infty} \:\varphi\left(\mathrm{z}\right)\mathrm{dz}\:=\mathrm{2i}\pi\:\mathrm{Res}\left(\varphi,\mathrm{2i}\right)\:=\mathrm{2i}\pi×\frac{\mathrm{e}^{\mathrm{i}\alpha\left(\mathrm{2i}\right)^{\mathrm{2}} } }{\mathrm{4i}}\:=\frac{\pi}{\mathrm{2}}\:\mathrm{e}^{−\mathrm{4i}\alpha} \\ $$$$=\frac{\pi}{\mathrm{2}}\left\{\mathrm{cos}\left(\mathrm{4}\alpha\right)−\mathrm{isin}\left(\mathrm{4}\alpha\right)\right\}\:\Rightarrow\:\mathrm{2I}\:=−\frac{\pi}{\mathrm{2}}\mathrm{sin}\left(\mathrm{4}\alpha\right)\:\Rightarrow\:\mathrm{I}\:=−\frac{\pi}{\mathrm{4}}\:\mathrm{sin}\left(\mathrm{4}\alpha\right) \\ $$