Question Number 126494 by mathmax by abdo last updated on 21/Dec/20
$$\mathrm{calculate}\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \:\:\:\:\frac{\mathrm{sinx}}{\mathrm{x}\left(\mathrm{x}^{\mathrm{4}} +\mathrm{1}\right)}\mathrm{dx} \\ $$
Answered by mathmax by abdo last updated on 22/Dec/20
$$\mathrm{I}=\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \:\frac{\mathrm{sinx}}{\mathrm{x}\left(\mathrm{x}^{\mathrm{4}} +\mathrm{1}\right)}\mathrm{dx}\:\Rightarrow\mathrm{2I}=\int_{−\infty} ^{+\infty} \:\frac{\mathrm{sinx}}{\mathrm{x}\left(\mathrm{x}^{\mathrm{4}} +\mathrm{1}\right)}\mathrm{dx}\:=\mathrm{Im}\left(\int_{−\infty} ^{+\infty} \:\frac{\mathrm{e}^{\mathrm{ix}} }{\mathrm{x}\left(\mathrm{x}^{\mathrm{4}} +\mathrm{1}\right)}\mathrm{dx}\right) \\ $$$$\mathrm{let}\:\mathrm{consider}\:\mathrm{the}\:\mathrm{complex}\:\mathrm{function}\:\varphi\left(\mathrm{z}\right)=\frac{\mathrm{e}^{\mathrm{iz}} }{\mathrm{z}\left(\mathrm{z}^{\mathrm{4}} \:+\mathrm{1}\right)}\:\mathrm{poles}\:\mathrm{of}\:\varphi? \\ $$$$\varphi\left(\mathrm{z}\right)\:=\frac{\mathrm{e}^{\mathrm{iz}} }{\mathrm{z}\left(\mathrm{z}^{\mathrm{2}} −\mathrm{i}\right)\left(\mathrm{z}^{\mathrm{2}} +\mathrm{i}\right)}\:=\frac{\mathrm{e}^{\mathrm{iz}} }{\mathrm{z}\left(\mathrm{z}−\mathrm{e}^{\frac{\mathrm{i}\pi}{\mathrm{4}}} \right)\left(\mathrm{z}+\mathrm{e}^{\frac{\mathrm{i}\pi}{\mathrm{4}}} \right)\left(\mathrm{z}−\mathrm{e}^{−\frac{\mathrm{i}\pi}{\mathrm{4}}} \right)\left(\mathrm{z}+\mathrm{e}^{−\frac{\mathrm{i}\pi}{\mathrm{4}}} \right)} \\ $$$$\mathrm{so}\:\mathrm{the}\:\mathrm{poles}\:\mathrm{are}\:\mathrm{0},\overset{−} {+}\mathrm{e}^{\frac{\mathrm{i}\pi}{\mathrm{4}\:}} \:\mathrm{and}\:\overset{−} {+}\mathrm{e}^{−\frac{\mathrm{i}\pi}{\mathrm{4}}} \:\:\mathrm{residus}\:\mathrm{theorem}\:\mathrm{give} \\ $$$$\int_{−\infty} ^{\infty} \:\varphi\left(\mathrm{z}\right)\mathrm{dz}\:=\mathrm{2i}\pi\left\{\:\mathrm{Res}\left(\varphi,\mathrm{0}\right)+\mathrm{Res}\left(\varphi,\mathrm{e}^{\frac{\mathrm{i}\pi}{\mathrm{4}}} \right)\:+\mathrm{Res}\left(\varphi,−\mathrm{e}^{−\frac{\mathrm{i}\pi}{\mathrm{4}}} \right)\right\} \\ $$$$\mathrm{Res}\left(\varphi,\mathrm{0}\right)=\mathrm{1} \\ $$$$\mathrm{Res}\left(\varphi,\mathrm{e}^{\frac{\mathrm{i}\pi}{\mathrm{4}}} \right)\:=\frac{\mathrm{e}^{\mathrm{ie}^{\frac{\mathrm{i}\pi}{\mathrm{4}}} } }{\mathrm{e}^{\frac{\mathrm{i}\pi}{\mathrm{4}}} .\mathrm{2e}^{\frac{\mathrm{i}\pi}{\mathrm{4}}} \left(\mathrm{2i}\right)}\:=\frac{\mathrm{e}^{\mathrm{i}\left(\frac{\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{2}}}+\frac{\mathrm{i}}{\:\sqrt{\mathrm{2}}}\right)} }{\left(\mathrm{2i}\right)\left(\mathrm{2i}\right)}=−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}\:\mathrm{e}^{−\frac{\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{2}}}} \:\left(\mathrm{cos}\left(\frac{\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{2}}}\right)+\mathrm{isin}\left(\frac{\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{2}}}\right)\right) \\ $$$$\mathrm{Res}\left(\varphi,−\mathrm{e}^{−\frac{\mathrm{i}\pi}{\mathrm{4}}} \right)\:=\frac{\mathrm{e}^{−\mathrm{ie}^{−\frac{\mathrm{i}\pi}{\mathrm{4}}} } }{\left(−\mathrm{e}^{−\frac{\mathrm{i}\pi}{\mathrm{4}}} \right)\left(−\mathrm{2e}^{−\frac{\mathrm{i}\pi}{\mathrm{4}}} \right)\left(−\mathrm{2i}\right)}\:=\frac{\mathrm{e}^{−\mathrm{ie}^{−\frac{\mathrm{i}\pi}{\mathrm{4}}} } }{−\mathrm{4i}\left(−\mathrm{i}\right)} \\ $$$$=−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}\:\mathrm{e}^{−\mathrm{i}\left(\frac{\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{2}}}−\frac{\mathrm{i}}{\:\sqrt{\mathrm{2}}}\right)} \:=−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}\mathrm{e}^{−\frac{\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{2}}}} \:\:\mathrm{e}^{−\frac{\mathrm{i}}{\:\sqrt{\mathrm{2}}}} \:\:\Rightarrow\:\: \\ $$$$\int_{−\infty} ^{+\infty} \:\varphi\left(\mathrm{z}\right)\mathrm{dz}\:=\mathrm{2i}\pi\left\{\mathrm{1}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}\mathrm{e}^{−\frac{\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{2}}}} \:\:\:\mathrm{e}^{\frac{\mathrm{i}}{\:\sqrt{\mathrm{2}}}} \:\:−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}\mathrm{e}^{−\frac{\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{2}}}} \:\:\mathrm{e}^{−\frac{\mathrm{i}}{\:\sqrt{\mathrm{2}}}} \:\:\:\right\} \\ $$$$=\mathrm{2i}\pi\left\{\mathrm{1}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}\mathrm{e}^{−\frac{\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{2}}}} \:\left(\mathrm{e}^{\frac{\mathrm{i}}{\:\sqrt{\mathrm{2}}}} \:\:+\mathrm{e}^{−\frac{\mathrm{i}}{\:\sqrt{\mathrm{2}}}} \:\right)\right\} \\ $$$$=\mathrm{2i}\pi\left\{\mathrm{1}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\:\mathrm{e}^{−\frac{\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{2}}}} \:\:\mathrm{cos}\left(\frac{\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{2}}}\right)\right\}\:\Rightarrow \\ $$$$\mathrm{2I}\:=\mathrm{2}\pi\left\{\mathrm{1}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathrm{e}^{−\frac{\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{2}}}} \:\:\mathrm{cos}\left(\frac{\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{2}}}\right)\right\}\:\Rightarrow\mathrm{I}\:=\pi−\frac{\pi}{\mathrm{2}}\mathrm{e}^{−\frac{\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{2}}}} \:\:\mathrm{cos}\left(\frac{\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{2}}}\right) \\ $$