Question Number 59168 by maxmathsup by imad last updated on 05/May/19
$${calculate}\:\int_{−\mathrm{1}} ^{\mathrm{1}} \:\:\frac{{x}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{3}}{\:\sqrt{\mathrm{1}+{x}}\:+\sqrt{\mathrm{1}−{x}}}\:{dx} \\ $$
Answered by ajfour last updated on 05/May/19
$$\frac{\mathrm{I}}{\mathrm{2}}=\int_{\mathrm{0}} ^{\:\:\mathrm{1}} \frac{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{3}}{\:\sqrt{\mathrm{1}+\mathrm{x}}+\sqrt{\mathrm{1}−\mathrm{x}}}\mathrm{dx} \\ $$$$\:\:\:\:=\int_{\mathrm{0}} ^{\:\:\mathrm{1}} \frac{\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{3}\right)\left(\sqrt{\mathrm{1}+\mathrm{x}}−\sqrt{\mathrm{1}−\mathrm{x}}\right)}{\mathrm{2x}}\mathrm{dx} \\ $$$$\:\:\:\mathrm{I}=\int_{\mathrm{0}} ^{\:\:\mathrm{1}} \mathrm{xdx}−\mathrm{3}\int_{\mathrm{0}} ^{\:\:\frac{\pi}{\mathrm{2}}} \frac{\sqrt{\mathrm{2}}\mathrm{cos}\:\theta−\sqrt{\mathrm{2}}\mathrm{sin}\:\theta}{\left(\mathrm{cos}\:^{\mathrm{2}} \theta−\mathrm{sin}\:^{\mathrm{2}} \theta\right)}\left(−\mathrm{4sin}\:\theta\mathrm{cos}\:\theta\mathrm{d}\theta\right) \\ $$$$\:\:=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}+\mathrm{12}\sqrt{\mathrm{2}}\int_{\mathrm{0}} ^{\:\:\frac{\pi}{\mathrm{2}}} \frac{\mathrm{sin}\:\theta\mathrm{cos}\:\theta}{\mathrm{cos}\:\theta+\mathrm{sin}\:\theta}\mathrm{d}\theta \\ $$$$\:\:=\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}+\mathrm{24}\sqrt{\mathrm{2}}\int_{\mathrm{0}} ^{\:\:\pi/\mathrm{4}} \frac{\mathrm{sin}\:\theta\mathrm{d}\theta}{\mathrm{1}+\mathrm{tan}\:\theta} \\ $$$$…… \\ $$