Question Number 94905 by mathmax by abdo last updated on 21/May/20
$$\mathrm{calculate}\:\:\int_{\mathrm{3}} ^{+\infty} \:\:\:\:\:\frac{\mathrm{xdx}}{\left(\mathrm{x}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{3}} \left(\mathrm{x}−\mathrm{2}\right)^{\mathrm{2}} } \\ $$
Answered by MJS last updated on 22/May/20
$$\int\frac{{x}}{\left({x}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{3}} \left({x}−\mathrm{2}\right)^{\mathrm{2}} }{dx}= \\ $$$$\:\:\:\:\:\left[\mathrm{Ostrogradski}\right] \\ $$$$=−\frac{\mathrm{2}{x}^{\mathrm{2}} +{x}+\mathrm{2}}{\mathrm{18}\left({x}−\mathrm{2}\right)\left({x}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{9}}\int\frac{{dx}}{\left({x}−\mathrm{2}\right)\left({x}+\mathrm{1}\right)} \\ $$$$ \\ $$$$−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{9}}\int\frac{{dx}}{\left({x}−\mathrm{2}\right)\left({x}+\mathrm{1}\right)}= \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{27}}\int\frac{{dx}}{{x}+\mathrm{1}}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{27}}\int\frac{{dx}}{{x}−\mathrm{2}}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{27}}\mathrm{ln}\:\frac{{x}+\mathrm{1}}{{x}−\mathrm{2}}\:+{C} \\ $$$$ \\ $$$$\underset{\mathrm{3}} {\overset{\infty} {\int}}\frac{{x}}{\left({x}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{3}} \left({x}−\mathrm{2}\right)^{\mathrm{2}} }{dx}=\frac{\mathrm{23}}{\mathrm{288}}−\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{27}}\mathrm{ln}\:\mathrm{2} \\ $$
Commented by mathmax by abdo last updated on 22/May/20
$$\mathrm{thank}\:\mathrm{you}\:\mathrm{sir}\:\mathrm{mjs} \\ $$
Answered by mathmax by abdo last updated on 22/May/20
$$\mathrm{A}\:=\int_{\mathrm{3}} ^{+\infty} \:\frac{\mathrm{xdx}}{\left(\mathrm{x}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{3}} \left(\mathrm{x}−\mathrm{2}\right)^{\mathrm{2}} }\:\Rightarrow\mathrm{A}\:=\int_{\mathrm{3}} ^{+\infty} \:\frac{\mathrm{xdx}}{\left(\frac{\mathrm{x}+\mathrm{1}}{{x}−\mathrm{2}}\right)^{\mathrm{3}} \left({x}−\mathrm{2}\right)^{\mathrm{5}} } \\ $$$${changement}\:\frac{{x}+\mathrm{1}}{{x}−\mathrm{2}}\:={t}\:{give}\:{x}+\mathrm{1}\:={tx}−\mathrm{2}{t}\:\Rightarrow\left(\mathrm{1}−\mathrm{t}\right)\mathrm{x}\:=−\mathrm{2t}−\mathrm{1} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{x}\:=\frac{−\mathrm{2t}−\mathrm{1}}{\mathrm{1}−\mathrm{t}}\:=\frac{\mathrm{2t}+\mathrm{1}}{\mathrm{t}−\mathrm{1}}\:\mathrm{and}\:\mathrm{x}−\mathrm{2}\:=\frac{\mathrm{2t}+\mathrm{1}}{\mathrm{t}−\mathrm{1}}−\mathrm{2}\:=\frac{\mathrm{2t}+\mathrm{1}−\mathrm{2t}+\mathrm{2}}{\mathrm{t}−\mathrm{1}} \\ $$$$=\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{t}−\mathrm{1}}\:\:\:,\frac{\mathrm{dx}}{\mathrm{dt}}\:=\frac{\mathrm{2}\left(\mathrm{t}−\mathrm{1}\right)−\left(\mathrm{2t}+\mathrm{1}\right)}{\left(\mathrm{t}−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }\:=\frac{−\mathrm{3}}{\left(\mathrm{t}−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }\:\Rightarrow \\ $$$$\mathrm{A}\:=\int_{\mathrm{4}} ^{\mathrm{1}} \:\frac{\mathrm{2t}+\mathrm{1}}{\mathrm{t}−\mathrm{1}}\:×\frac{−\mathrm{3dt}}{\left(\mathrm{t}−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} \mathrm{t}^{\mathrm{3}} \left(\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{t}−\mathrm{1}}\right)^{\mathrm{5}} }\:=\mathrm{3}\:\int_{\mathrm{1}} ^{\mathrm{4}} \:\frac{\left(\mathrm{2t}+\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{t}−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{5}} }{\left(\mathrm{t}−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{3}} \mathrm{t}^{\mathrm{3}} \:\mathrm{3}^{\mathrm{5}} }\:\mathrm{dt} \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}^{\mathrm{4}} }\:\int_{\mathrm{1}} ^{\mathrm{4}} \:\frac{\left(\mathrm{2t}+\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{t}−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }{\mathrm{t}^{\mathrm{3}} }\:\mathrm{dt} \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}^{\mathrm{4}} }\:\int_{\mathrm{1}} ^{\mathrm{4}} \:\:\frac{\left(\mathrm{2t}+\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{t}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2t}\:+\mathrm{1}\right)}{\mathrm{t}^{\mathrm{3}} }\:\mathrm{dt} \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}^{\mathrm{4}} }\:\int_{\mathrm{1}} ^{\mathrm{4}} \:\frac{\mathrm{2t}^{\mathrm{3}} −\mathrm{4t}^{\mathrm{2}} +\mathrm{2t}\:+\mathrm{t}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2t}\:+\mathrm{1}}{\mathrm{t}^{\mathrm{3}} }\mathrm{dt} \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}^{\mathrm{4}} }\:\int_{\mathrm{1}} ^{\mathrm{4}} \:\frac{\mathrm{2t}^{\mathrm{3}} −\mathrm{3t}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}}{\mathrm{t}^{\mathrm{3}} }\mathrm{dt} \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{81}}\:\int_{\mathrm{1}} ^{\mathrm{4}} \left(\mathrm{2}−\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{t}}\:+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{t}^{\mathrm{3}} }\right)\mathrm{dt}\:\:=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{81}}\left[\mathrm{2t}−\mathrm{3ln}\mid\mathrm{t}\mid\:−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2t}^{\mathrm{2}} }\right]_{\mathrm{1}} ^{\mathrm{4}} \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{81}}\left(\mathrm{8}−\mathrm{6ln2}\:−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{32}}\:−\mathrm{2}\:+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\right) \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{81}}\left(\frac{\mathrm{13}}{\mathrm{2}}\:−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{32}}−\mathrm{6ln}\left(\mathrm{2}\right)\right) \\ $$