Question Number 128952 by mathmax by abdo last updated on 11/Jan/21
$$\mathrm{calculate}\:\mathrm{A}_{\mathrm{n}} =\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \:\:\frac{\mathrm{dx}}{\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}} }\:\:\:,\:\mathrm{n}\:\mathrm{integr}\:\mathrm{and}\:\mathrm{n}\geqslant\mathrm{1} \\ $$
Answered by Dwaipayan Shikari last updated on 11/Jan/21
$$\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \frac{{dx}}{\left({x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}\right)^{{n}} } \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \frac{{t}^{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}−\mathrm{1}} }{\left({t}+\mathrm{1}\right)^{\left({n}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\right)+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}} }{dt}=\beta\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}},{n}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\right)=\frac{\Gamma\left({n}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\right)\Gamma\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\right)}{\mathrm{2}\Gamma\left({n}\right)} \\ $$
Answered by mathmax by abdo last updated on 11/Jan/21
$$\mathrm{A}_{\mathrm{n}} =\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \:\:\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}}{\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}+\mathrm{1}} }\mathrm{dx}\:=\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \:\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }{\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}+\mathrm{1}} }\mathrm{dx}\:+\mathrm{A}_{\mathrm{n}+\mathrm{1}} \:\mathrm{we}\:\mathrm{have} \\ $$$$\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \:\:\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }{\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}+\mathrm{1}} }\mathrm{dx}\:=\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \mathrm{x}\left(\mathrm{x}\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}\right)^{−\mathrm{n}−\mathrm{1}} \right)\mathrm{dx}\:\:\mathrm{by}\:\mathrm{parts}\:\mathrm{u}=\mathrm{x}\:\mathrm{and} \\ $$$$\mathrm{v}^{'} \:=\mathrm{x}\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{1}\right)^{−\mathrm{n}−\mathrm{1}} \:\Rightarrow\mathrm{v}=−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2n}}\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{1}\right)^{−\mathrm{n}} \\ $$$$\Rightarrow\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \:\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \mathrm{dx}}{\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}+\mathrm{1}} }\:=\left[−\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{2n}}\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{1}\right)^{−\mathrm{n}} \right]_{\mathrm{0}} ^{\infty} +\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2n}}\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \frac{\mathrm{dx}}{\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}} } \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2n}}\mathrm{A}_{\mathrm{n}} \:\Rightarrow\mathrm{A}_{\mathrm{n}} =\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2n}}\mathrm{A}_{\mathrm{n}} +\mathrm{A}_{\mathrm{n}+\mathrm{1}} \:\Rightarrow\mathrm{A}_{\mathrm{n}+\mathrm{1}} =\left(\mathrm{1}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2n}}\right)\mathrm{A}_{\mathrm{n}} \:\Rightarrow \\ $$$$\mathrm{A}_{\mathrm{n}+\mathrm{1}} =\frac{\mathrm{2n}−\mathrm{1}}{\mathrm{2n}}\mathrm{A}_{\mathrm{n}} \:\:\Rightarrow\frac{\mathrm{A}_{\mathrm{n}+\mathrm{1}} }{\mathrm{A}_{\mathrm{n}} }\:=\frac{\mathrm{2n}−\mathrm{1}}{\mathrm{2n}}\:\Rightarrow\prod_{\mathrm{k}=\mathrm{1}} ^{\mathrm{n}−\mathrm{1}} \:\frac{\mathrm{A}_{\mathrm{k}+\mathrm{1}} }{\mathrm{A}_{\mathrm{k}} }=\prod_{\mathrm{k}=\mathrm{1}} ^{\mathrm{n}−\mathrm{1}} \:\frac{\mathrm{2k}−\mathrm{1}}{\mathrm{2k}} \\ $$$$\Rightarrow\:\frac{\mathrm{A}_{\mathrm{2}} }{\mathrm{A}_{\mathrm{1}} }.\frac{\mathrm{A}_{\mathrm{3}} }{\mathrm{A}_{\mathrm{2}} }…..\frac{\mathrm{A}_{\mathrm{n}} }{\mathrm{A}_{\mathrm{n}−\mathrm{1}} }\:=\frac{\prod_{\mathrm{k}=\mathrm{1}} ^{\mathrm{n}−\mathrm{1}} \left(\mathrm{2k}−\mathrm{1}\right)}{\mathrm{2}^{\mathrm{n}−\mathrm{1}} \left(\mathrm{n}−\mathrm{1}\right)!}\Rightarrow \\ $$$$\mathrm{A}_{\mathrm{n}} =\mathrm{A}_{\mathrm{1}} ×\frac{\mathrm{1}.\mathrm{3}….\left(\mathrm{2n}−\mathrm{3}\right)}{\mathrm{2}^{\mathrm{n}−\mathrm{1}} \left(\mathrm{n}−\mathrm{1}\right)!}\:=\mathrm{A}_{\mathrm{1}} ×\frac{\mathrm{1}.\mathrm{2}.\mathrm{3}…..\left(\mathrm{2n}−\mathrm{4}\right)\left(\mathrm{2n}−\mathrm{3}\right)\left(\mathrm{2n}−\mathrm{2}\right)}{\left(\mathrm{2}^{\mathrm{n}−\mathrm{1}} \right)^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{n}−\mathrm{1}\right)!^{\mathrm{2}} } \\ $$$$=\frac{\left(\mathrm{2n}−\mathrm{2}\right)!}{\mathrm{2}^{\mathrm{2n}−\mathrm{2}} \left(\left(\mathrm{n}−\mathrm{1}\right)!\right)^{\mathrm{2}} }\mathrm{A}_{\mathrm{1}} \:\:=\frac{\left(\mathrm{2n}−\mathrm{2}\right)!}{\mathrm{2}^{\mathrm{2n}−\mathrm{2}} \left(\mathrm{n}−\mathrm{1}\right)!^{\mathrm{2}} }.\frac{\pi}{\mathrm{2}}\:\:\:\left(\mathrm{n}>\mathrm{1}\right)\:\Rightarrow \\ $$$$\mathrm{A}_{\mathrm{n}} =\pi×\frac{\left(\mathrm{2n}−\mathrm{2}\right)!}{\mathrm{2}^{\mathrm{2n}−\mathrm{1}} \left\{\left(\mathrm{n}−\mathrm{1}\right)!^{\mathrm{2}} \right\}} \\ $$
Answered by mathmax by abdo last updated on 11/Jan/21
$$\mathrm{residus}\:\mathrm{method}\:\mathrm{A}_{\mathrm{n}} =\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\int_{−\infty} ^{+\infty} \:\frac{\mathrm{dx}}{\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}} }\:\mathrm{let}\:\varphi\left(\mathrm{z}\right)=\frac{\mathrm{1}}{\left(\mathrm{z}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}} }\:\Rightarrow \\ $$$$\varphi\left(\mathrm{z}\right)=\frac{\mathrm{1}}{\left(\mathrm{z}−\mathrm{i}\right)^{\mathrm{n}} \left(\mathrm{z}+\mathrm{i}\right)^{\mathrm{n}} }\:\:\mathrm{residus}\:\mathrm{give}\:\int_{\mathrm{R}} \varphi\left(\mathrm{z}\right)\mathrm{dz}=\mathrm{2i}\pi\mathrm{Res}\left(\varphi,\mathrm{i}\right) \\ $$$$\mathrm{Res}\left(\varphi,\mathrm{i}\right)=\mathrm{lim}_{\mathrm{z}\rightarrow\mathrm{i}} \:\:\frac{\mathrm{1}}{\left(\mathrm{n}−\mathrm{1}\right)!}\left\{\left(\mathrm{z}−\mathrm{i}\right)^{\mathrm{n}} \varphi\left(\mathrm{z}\right)\right\}^{\left(\mathrm{n}−\mathrm{1}\right)} \:=\mathrm{lim}_{\mathrm{z}\rightarrow\mathrm{i}} \frac{\mathrm{1}}{\left(\mathrm{n}−\mathrm{1}\right)!}\left\{\left(\mathrm{z}+\mathrm{i}\right)^{−\mathrm{n}} \right\}^{\left(\mathrm{n}−\mathrm{1}\right)} \\ $$$$\left.\mathrm{that}\:\mathrm{lead}\:\mathrm{to}\:\mathrm{find}\:\:\left(\mathrm{z}+\mathrm{i}\right)^{−\mathrm{n}} \right\}^{\left(\mathrm{p}\right)} \\ $$$$\left\{\left(\mathrm{z}+\mathrm{i}\right)^{−\mathrm{n}} \right\}^{\left(\mathrm{1}\right)} \:=−\mathrm{n}\left(\mathrm{z}+\mathrm{i}\right)^{−\mathrm{n}−\mathrm{1}} \\ $$$$\left\{\left(\mathrm{z}+\mathrm{i}\right)^{−\mathrm{n}} \right\}^{\left(\mathrm{2}\right)} \:=\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} \mathrm{n}\left(\mathrm{n}+\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{z}+\mathrm{i}\right)^{−\left(\mathrm{n}+\mathrm{2}\right)} \\ $$$$\left\{\left(\mathrm{z}+\mathrm{i}\right)^{−\mathrm{n}} \right\}^{\left(\mathrm{p}\right)} \:=\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{p}} \mathrm{n}\left(\mathrm{n}+\mathrm{1}\right)….\left(\mathrm{n}+\mathrm{p}−\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{z}+\mathrm{i}\right)^{−\mathrm{n}−\mathrm{p}} \\ $$$$\mathrm{p}=\mathrm{n}−\mathrm{1}\:\Rightarrow\left\{\left(\mathrm{z}+\mathrm{i}\right)^{−\mathrm{n}} \right\}^{\left(\mathrm{n}−\mathrm{1}\right)} \:=\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}−\mathrm{1}} \mathrm{n}\left(\mathrm{n}+\mathrm{1}\right)….\left(\mathrm{n}+\mathrm{n}−\mathrm{1}−\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{z}+\mathrm{i}\right)^{−\mathrm{n}−\left(\mathrm{n}−\mathrm{1}\right)} \\ $$$$=\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}−\mathrm{1}} \mathrm{n}\left(\mathrm{n}+\mathrm{1}\right)…..\left(\mathrm{2n}−\mathrm{2}\right)\left(\mathrm{z}+\mathrm{i}\right)^{−\mathrm{2n}+\mathrm{1}} \\ $$$$=\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}−\mathrm{1}} \mathrm{n}\left(\mathrm{n}+\mathrm{1}\right)….\left(\mathrm{2n}−\mathrm{2}\right)}{\left(\mathrm{z}+\mathrm{i}\right)^{\mathrm{2n}−\mathrm{1}} }\:\Rightarrow \\ $$$$\mathrm{Res}\left(\varphi,\mathrm{i}\right)=\mathrm{lim}_{\mathrm{z}\rightarrow\mathrm{i}} \:\:\frac{\mathrm{1}}{\left(\mathrm{n}−\mathrm{1}\right)!}×\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}−\mathrm{1}} \mathrm{n}\left(\mathrm{n}+\mathrm{1}\right)….\left(\mathrm{2n}−\mathrm{2}\right)}{\left(\mathrm{z}+\mathrm{i}\right)^{\mathrm{2n}−\mathrm{1}} } \\ $$$$=\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}−\mathrm{1}} \mathrm{n}\left(\mathrm{n}+\mathrm{1}\right)….\left(\mathrm{2n}−\mathrm{2}\right)}{\left(\mathrm{n}−\mathrm{1}\right)!\left(\mathrm{2i}\right)^{\mathrm{2n}−\mathrm{1}} }\:=\mathrm{i}\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}−\mathrm{1}} \mathrm{n}\left(\mathrm{n}+\mathrm{1}\right)….\left(\mathrm{2n}−\mathrm{2}\right)}{\left(\mathrm{n}−\mathrm{1}\right)!\mathrm{2}^{\mathrm{2n}−\mathrm{1}} \left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}} } \\ $$$$=−\mathrm{i}\frac{\mathrm{n}\left(\mathrm{n}+\mathrm{1}\right)….\left(\mathrm{2n}−\mathrm{2}\right)}{\mathrm{2}^{\mathrm{2n}−\mathrm{1}} \left(\mathrm{n}−\mathrm{1}\right)!}\:\Rightarrow\int_{\mathrm{R}} \varphi\left(\mathrm{z}\right)\mathrm{dz}\:=\mathrm{2i}\pi×\left(−\mathrm{i}\right)×\frac{\mathrm{n}\left(\mathrm{n}+\mathrm{1}\right)….\left(\mathrm{2n}−\mathrm{2}\right)}{\mathrm{2}^{\mathrm{2n}−\mathrm{1}} \left(\mathrm{n}−\mathrm{1}\right)!} \\ $$$$=\pi×\frac{\mathrm{n}\left(\mathrm{n}+\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{n}+\mathrm{2}\right)…\left(\mathrm{2n}−\mathrm{2}\right)}{\mathrm{2}^{\mathrm{2n}−\mathrm{2}} \left(\mathrm{n}−\mathrm{1}\right)!}=\mathrm{2A}_{\mathrm{n}} \:\Rightarrow \\ $$$$\mathrm{A}_{\mathrm{n}} =\frac{\pi}{\mathrm{2}}×\frac{\mathrm{n}\left(\mathrm{n}+\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{n}+\mathrm{2}\right)….\left(\mathrm{2n}−\mathrm{2}\right)}{\mathrm{2}^{\mathrm{2n}−\mathrm{2}} \left(\mathrm{n}−\mathrm{1}\right)!} \\ $$