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calculate-dy-dx-where-y-cos-1-a-b-cosx-b-a-cosx-b-gt-a-

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Question Number 18906 by Arnab Maiti last updated on 01/Aug/17
calculate (dy/dx) where y=cos^(−1) ((a+b cosx)/(b+a cosx)) (b>a)
$$\mathrm{calculate}\:\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}\:\:\:\mathrm{where}\: \\ $$$$\mathrm{y}=\mathrm{cos}^{−\mathrm{1}} \frac{\mathrm{a}+\mathrm{b}\:\mathrm{cosx}}{\mathrm{b}+\mathrm{a}\:\mathrm{cosx}}\:\left(\mathrm{b}>\mathrm{a}\right) \\ $$
Answered by ajfour last updated on 01/Aug/17
y=cos^(−1) (((a+bcos x)/(b+acos x))) (dy/dx)=((−1)/(sin y)).(((−bsin x)(b+acos x)−(−asin x)(a+bcos x))/((b+acos x)^2 )) =−((b+acos x)/( (√((b+acos x)^2 −(a+bcos x)^2 ))))×(((a^2 −b^2 )sin x)/((b+acos x)^2 )) =(((b^2 −a^2 )sin x)/((b+acos x)(√((b^2 −a^2 )(1−cos^2 x))))) (dy/dx)=((√(b^2 −a^2 ))/((b+acos x))) ×((sin x)/(∣sin x∣)) and if sin x>0 (dy/dx)=((√(b^2 −a^2 ))/(b+acos x)) .
$$\:\mathrm{y}=\mathrm{cos}^{−\mathrm{1}} \left(\frac{\mathrm{a}+\mathrm{bcos}\:\mathrm{x}}{\mathrm{b}+\mathrm{acos}\:\mathrm{x}}\right) \\ $$$$\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}=\frac{−\mathrm{1}}{\mathrm{sin}\:\mathrm{y}}.\frac{\left(−\mathrm{bsin}\:\mathrm{x}\right)\left(\mathrm{b}+\mathrm{acos}\:\mathrm{x}\right)−\left(−\mathrm{asin}\:\mathrm{x}\right)\left(\mathrm{a}+\mathrm{bcos}\:\mathrm{x}\right)}{\left(\mathrm{b}+\mathrm{acos}\:\mathrm{x}\right)^{\mathrm{2}} } \\ $$$$\:\:\:\:=−\frac{\mathrm{b}+\mathrm{acos}\:\mathrm{x}}{\:\sqrt{\left(\mathrm{b}+\mathrm{acos}\:\mathrm{x}\right)^{\mathrm{2}} −\left(\mathrm{a}+\mathrm{bcos}\:\mathrm{x}\right)^{\mathrm{2}} }}×\frac{\left(\mathrm{a}^{\mathrm{2}} −\mathrm{b}^{\mathrm{2}} \right)\mathrm{sin}\:\mathrm{x}}{\left(\mathrm{b}+\mathrm{acos}\:\mathrm{x}\right)^{\mathrm{2}} } \\ $$$$\:\:\:=\frac{\left(\mathrm{b}^{\mathrm{2}} −\mathrm{a}^{\mathrm{2}} \right)\mathrm{sin}\:\mathrm{x}}{\left(\mathrm{b}+\mathrm{acos}\:\mathrm{x}\right)\sqrt{\left(\mathrm{b}^{\mathrm{2}} −\mathrm{a}^{\mathrm{2}} \right)\left(\mathrm{1}−\mathrm{cos}^{\mathrm{2}} \:\mathrm{x}\right)}} \\ $$$$\:\:\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}=\frac{\sqrt{\mathrm{b}^{\mathrm{2}} −\mathrm{a}^{\mathrm{2}} }}{\left(\mathrm{b}+\mathrm{acos}\:\mathrm{x}\right)}\:×\frac{\mathrm{sin}\:\mathrm{x}}{\mid\mathrm{sin}\:\mathrm{x}\mid} \\ $$$$\:\:\:\mathrm{and}\:\mathrm{if}\:\mathrm{sin}\:\mathrm{x}>\mathrm{0} \\ $$$$\:\:\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}=\frac{\sqrt{\mathrm{b}^{\mathrm{2}} −\mathrm{a}^{\mathrm{2}} }}{\mathrm{b}+\mathrm{acos}\:\mathrm{x}}\:. \\ $$
Commented by Arnab Maiti last updated on 01/Aug/17
But the answer is only ((√(b^2 −a^2 ))/(b+a cosx))
$$\mathrm{But}\:\mathrm{the}\:\mathrm{answer}\:\mathrm{is}\:\mathrm{only}\:\frac{\sqrt{\mathrm{b}^{\mathrm{2}} −\mathrm{a}^{\mathrm{2}} }}{\mathrm{b}+\mathrm{a}\:\mathrm{cosx}} \\ $$

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