Question Number 99465 by mathmax by abdo last updated on 21/Jun/20
$$\mathrm{calculate}\:\mathrm{I}\:=\int\:\mathrm{cos}^{\mathrm{2}} \mathrm{x}\:\mathrm{sh}\left(\mathrm{2x}\right)\mathrm{dx}\:\mathrm{and}\:\mathrm{J}\:=\int\:\mathrm{sin}^{\mathrm{2}} \mathrm{x}\:\mathrm{ch}\left(\mathrm{2x}\right)\mathrm{dx} \\ $$
Answered by mathmax by abdo last updated on 22/Jun/20
$$\mathrm{I}\:=\int\:\mathrm{cos}^{\mathrm{2}} \mathrm{x}\:\mathrm{sh}\left(\mathrm{2x}\right)\mathrm{dx}\:\Rightarrow\mathrm{I}\:=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\int\:\:\left(\mathrm{1}+\mathrm{cos}\left(\mathrm{2x}\right)\right)\mathrm{sh}\left(\mathrm{2x}\right)\mathrm{dx} \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\int\:\mathrm{sh}\left(\mathrm{2x}\right)\mathrm{dx}\:+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\int\:\mathrm{cos}\left(\mathrm{2x}\right)\mathrm{sh}\left(\mathrm{2x}\right)\mathrm{dx} \\ $$$$\int\:\mathrm{sh}\left(\mathrm{2x}\right)\mathrm{dx}\:=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathrm{ch}\left(\mathrm{2x}\right)+\mathrm{c}_{\mathrm{1}} \\ $$$$\int\:\mathrm{cos}\left(\mathrm{2x}\right)\mathrm{sh}\left(\mathrm{2x}\right)\mathrm{dx}\:=\mathrm{Re}\left(\int\:\:\mathrm{e}^{\mathrm{2ix}} ×\frac{\mathrm{e}^{\mathrm{2ix}} −\mathrm{e}^{−\mathrm{2ix}} }{\mathrm{2}}\:\mathrm{dx}\right) \\ $$$$\int\:\:\frac{\mathrm{e}^{\mathrm{4ix}} −\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\:\mathrm{dx}\:=−\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{2}}\:+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{8i}}\:\mathrm{e}^{\mathrm{4ix}} \:=−\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{2}}−\frac{\mathrm{i}}{\mathrm{8}}\left(\mathrm{cos}\left(\mathrm{4x}\right)+\mathrm{isin}\left(\mathrm{4x}\right)\:\Rightarrow\right. \\ $$$$\mathrm{Re}\left(….\right)\:=−\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{2}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{8}}\mathrm{sin}\left(\mathrm{4x}\right)\:\Rightarrow\:\mathrm{I}\:=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathrm{ch}\left(\mathrm{2x}\right)−\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{4}}\:+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{16}}\mathrm{sin}\left(\mathrm{4x}\right) \\ $$
Answered by abdomathmax last updated on 22/Jun/20
$$\mathrm{J}\:=\int\:\mathrm{sin}^{\mathrm{2}} \mathrm{x}\:\mathrm{ch}\left(\mathrm{2x}\right)\mathrm{dx}\:\Rightarrow\mathrm{J}\:=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\int\left(\mathrm{1}−\mathrm{cos}\left(\mathrm{2x}\right)\right)\mathrm{ch}\left(\mathrm{2x}\right)\mathrm{dx} \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\int\:\mathrm{ch}\left(\mathrm{2x}\right)\mathrm{dx}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\:\int\:\mathrm{cos}\left(\mathrm{2x}\right)\mathrm{ch}\left(\mathrm{2x}\right)\mathrm{dx}\:\mathrm{we}\:\mathrm{have} \\ $$$$\int\:\mathrm{ch}\left(\mathrm{2x}\right)\mathrm{dx}\:=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathrm{sh}\left(\mathrm{2x}\right)\:+\mathrm{c}_{\mathrm{1}} \\ $$$$\int\:\mathrm{cos}\left(\mathrm{2x}\right)\mathrm{ch}\left(\mathrm{2x}\right)\mathrm{dx}\:=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathrm{Re}\left(\int\:\mathrm{e}^{\mathrm{2ix}} \left(\mathrm{e}^{\mathrm{2ix}} +\mathrm{e}^{−\mathrm{2ix}} \right)\mathrm{dx}\right) \\ $$$$\mathrm{and}\:\int\:\:\left(\mathrm{e}^{\mathrm{4ix}} \:+\mathrm{1}\right)\mathrm{dx}\:=\mathrm{x}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4i}}\:\mathrm{e}^{\mathrm{4ix}} \\ $$$$=\mathrm{x}−\frac{\mathrm{i}}{\mathrm{4}}\left(\mathrm{cos}\left(\mathrm{4x}\right)+\mathrm{isin}\left(\mathrm{4x}\right)\right) \\ $$$$\Rightarrow\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathrm{Re}\left(…\right)\:\:=\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{2}}\:+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{8}}\mathrm{sin}\left(\mathrm{4x}\right)\:\Rightarrow \\ $$$$\mathrm{J}\:=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}\mathrm{sh}\left(\mathrm{2x}\right)−\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{5}}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{16}}\mathrm{sin}\left(\mathrm{4x}\right)\:+\mathrm{c} \\ $$$$ \\ $$
Commented by abdomathmax last updated on 22/Jun/20
$$\mathrm{J}\:=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}\mathrm{sh}\left(\mathrm{2x}\right)−\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{4}}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{16}}\mathrm{sin}\left(\mathrm{4x}\right)\:+\mathrm{c} \\ $$