Question Number 166829 by mnjuly1970 last updated on 01/Mar/22
$$ \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:{calculate}\: \\ $$$$\:\:\:\mathrm{I}{f}\:,\:\:\:\:{f}\left({x}\right)=\frac{\:\left({x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}\right)\sqrt[{\mathrm{3}}]{\left({x}^{\:\mathrm{2}} +{x}−\mathrm{2}\right)\left({x}^{\:\mathrm{4}} −\mathrm{1}\right)\left({x}^{\:\mathrm{2}} +\mathrm{2}{x}−\mathrm{3}\right)+\mathrm{16}}\:\:+\:\sqrt{{x}^{\:\mathrm{2}} +\mathrm{3}}}{\left(\:\mathrm{1}+{x}\:+{x}^{\:\mathrm{2}} \right)} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\: \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:{then}\:,\:\:\:\:{f}\:'\:\left(\mathrm{1}\:\right)\:=?\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\blacksquare\:{m}.{n} \\ $$$$ \\ $$
Answered by mathsmine last updated on 01/Mar/22
$${f}\left({x}\right)=\frac{\left({x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}\right)\sqrt[{\mathrm{3}}]{{g}\left({x}\right)}+\sqrt{{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{3}}}{\left(\mathrm{1}+{x}+{x}^{\mathrm{2}} \right)} \\ $$$${f}'\left({x}\right)=\frac{\left(\mathrm{2}{x}\sqrt[{\mathrm{3}}]{{g}\left({x}\right)}+\frac{{g}'\left({x}\right)}{\mathrm{3}{g}^{\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{3}}} \left({x}\right)}\left({x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}\right)+\frac{{x}}{\:\sqrt{{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{3}}}\right)}{\mathrm{1}+{x}+{x}^{\mathrm{2}} }−\frac{\left(\mathrm{1}+\mathrm{2}{x}\right)\left(\left({x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}\right)\sqrt[{\mathrm{3}}]{{g}\left({x}\right)}+\sqrt{{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{3}}\right)}{\left(\mathrm{1}+{x}+{x}^{\mathrm{2}} \right)^{\mathrm{2}} } \\ $$$${f}'\left(\mathrm{1}\right)=\frac{\mathrm{2}\sqrt[{\mathrm{3}}]{\mathrm{16}}+\mathrm{2}\frac{{g}'\left(\mathrm{1}\right)}{\mathrm{3}\left(\mathrm{16}\right)^{\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{9}}} }+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}}{\mathrm{3}}−\frac{\mathrm{2}\sqrt[{\mathrm{3}}]{\mathrm{16}}+\mathrm{2}}{\mathrm{3}} \\ $$$${g}\left({x}\right)=\left({x}^{\mathrm{2}} +{x}−\mathrm{2}\right)\left({x}^{\mathrm{4}} −\mathrm{1}\right)\left({x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{2}{x}−\mathrm{3}\right)+\mathrm{16} \\ $$$$\left({fgh}\right)^{'} ={f}'{gh}+{fg}'{h}+{fgh}' \\ $$$$\mathrm{1}\:{root}\:{of}\:{x}^{\mathrm{2}} +{x}−\mathrm{2},{x}^{\mathrm{4}} −\mathrm{1},{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{2}{x}−\mathrm{3}\Rightarrow \\ $$$${g}'\left(\mathrm{1}\right)=\mathrm{0} \\ $$$${f}'\left(\mathrm{1}\right)=\frac{\mathrm{2}\sqrt[{\mathrm{3}}]{\mathrm{16}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}}{\mathrm{3}}−\frac{\mathrm{2}\sqrt[{\mathrm{3}}]{\mathrm{16}}+\mathrm{2}}{\mathrm{3}}=−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}} \\ $$$$ \\ $$