Question Number 26999 by abdo imad last updated on 01/Jan/18
$${calculate}\:\prod_{{k}=\mathrm{1}} ^{{n}} {cos}\left(\frac{{a}}{\mathrm{2}^{{k}} }\right)\:\:{and}\mathrm{0}<{a}<\pi\:\:{then}\:{find}\:{the}\:{value}\:{of} \\ $$$${lim}_{{n}−>\propto} \:\sum_{{k}=\mathrm{1}} ^{{n}} {ln}\left({cos}\left(\frac{{a}}{\mathrm{2}^{{k}} }\right)\right). \\ $$
Answered by prakash jain last updated on 01/Jan/18
$$\underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{{n}} {\prod}}\mathrm{cos}\left(\frac{{a}}{\mathrm{2}^{{k}} }\right)\: \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{sin}\:\left(\frac{{a}}{\mathrm{2}^{{n}} }\right)}\mathrm{sin}\:\left(\frac{{a}}{\mathrm{2}^{{n}} }\right)\underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{{n}} {\prod}}\mathrm{cos}\left(\frac{{a}}{\mathrm{2}^{{k}} }\right)\: \\ $$$$=\frac{\mathrm{sin}\:{a}}{\mathrm{2}^{{n}} \mathrm{sin}\:\left(\frac{{a}}{\mathrm{2}^{{n}} }\right)} \\ $$$$\underset{{n}\rightarrow\infty} {\mathrm{lim}}\frac{\mathrm{sin}\:{a}}{\mathrm{2}^{{n}} \mathrm{sin}\:\left(\frac{{a}}{\mathrm{2}^{{n}} }\right)} \\ $$$$\underset{{n}\rightarrow\infty} {\mathrm{lim}}\frac{\mathrm{sin}\:{a}}{\frac{\mathrm{sin}\:\left(\frac{{a}}{\mathrm{2}^{{n}} }\right)}{\frac{{a}}{\mathrm{2}^{\mathrm{7}} }}\centerdot{a}}=\frac{\mathrm{sin}\:{a}}{{a}} \\ $$$$ \\ $$