Question Number 147687 by mathmax by abdo last updated on 22/Jul/21
$$\mathrm{calculate}\:\mathrm{lim}_{\mathrm{n}\rightarrow\mathrm{0}} \:\frac{\mathrm{e}^{−\mathrm{nx}^{\mathrm{2}} } −\mathrm{nx}−\mathrm{1}}{\mathrm{x}^{\mathrm{3}} } \\ $$
Answered by ArielVyny last updated on 23/Jul/21
$${e}^{{U}_{{n}} } −\mathrm{1}\sim{U}_{{n}} \:\:\left({U}_{{n}} \rightarrow\mathrm{0}\right) \\ $$$${lim}_{{n}\rightarrow\mathrm{0}} \frac{{e}^{−{nx}^{\mathrm{2}} } −\mathrm{1}−{nx}}{{x}^{\mathrm{3}} }={lim}_{{n}\rightarrow\mathrm{0}} \frac{−{nx}^{\mathrm{2}} −{nx}}{{x}^{\mathrm{3}} }=\mathrm{0} \\ $$$$\frac{{e}^{−{nx}^{\mathrm{2}} } −{nx}−\mathrm{1}}{{x}^{\mathrm{3}} }=\frac{\frac{\mathrm{1}}{{e}^{{nx}^{\mathrm{2}} } }−{nx}−\mathrm{1}}{{x}^{\mathrm{3}} }=\frac{\mathrm{1}}{{x}^{\mathrm{3}} {e}^{{nx}^{\mathrm{2}} } }−\frac{{nx}}{{x}^{\mathrm{3}} }−\frac{\mathrm{1}}{{x}^{\mathrm{3}} }=\frac{\mathrm{1}}{{x}^{\mathrm{3}} }−\frac{\mathrm{1}}{{x}^{\mathrm{3}} }−\frac{{n}}{{x}^{\mathrm{2}} }=\mathrm{0}\:\left({n}\rightarrow\mathrm{0}\left\{\right.\right. \\ $$$$ \\ $$
Answered by mathmax by abdo last updated on 23/Jul/21
$$\mathrm{e}^{−\mathrm{nx}^{\mathrm{2}} } \sim\mathrm{1}−\mathrm{nx}^{\mathrm{2}} \:\:\:\left(\mathrm{n}\rightarrow\mathrm{0}\right)\:\Rightarrow\mathrm{e}^{−\mathrm{nx}^{\mathrm{2}} } −\mathrm{nx}−\mathrm{1}\:\sim\mathrm{1}−\mathrm{nx}^{\mathrm{2}} −\mathrm{nx}−\mathrm{1} \\ $$$$=−\mathrm{nx}^{\mathrm{2}} −\mathrm{nx}\:\Rightarrow\frac{\mathrm{e}^{−\mathrm{nx}^{\mathrm{2}} } −\mathrm{nx}−\mathrm{1}}{\mathrm{x}^{\mathrm{3}} }\sim\frac{−\mathrm{nx}^{\mathrm{2}} −\mathrm{nx}}{\mathrm{x}^{\mathrm{3}} }=−\frac{\mathrm{n}}{\mathrm{x}}−\frac{\mathrm{n}}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }\rightarrow\mathrm{0}\:\Rightarrow \\ $$$$\mathrm{lim}_{\mathrm{n}\rightarrow\mathrm{0}} \:\:\frac{\mathrm{e}^{−\mathrm{nx}^{\mathrm{2}} } −\mathrm{nx}−\mathrm{1}}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }=\mathrm{0} \\ $$