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calculate-n-0-1-n-x-n-n-o-x-2n-n-1-




Question Number 103763 by mathmax by abdo last updated on 17/Jul/20
calculate{ Σ_(n=0) ^∞ (−1)^n x^n }×{Σ_(n=o) ^∞  (x^(2n) /(n+1))}
$$\mathrm{calculate}\left\{\:\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{0}} ^{\infty} \left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}} \mathrm{x}^{\mathrm{n}} \right\}×\left\{\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{o}} ^{\infty} \:\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{2n}} }{\mathrm{n}+\mathrm{1}}\right\} \\ $$
Answered by mathmax by abdo last updated on 18/Jul/20
here we use Σ a_n ×Σ b_n =Σ c_n    c_n =Σ_(i+j =n)  a_i b_j  =Σ_(i=0) ^n  a_i b_(n−i)   =Σ_(i=0) ^n  (−1)^i  x^i   (x^(2(n−i)) /(n−i +1)) =Σ_(i=0) ^n  (((−1)^i )/(n−i+1)) x^(i+2n−2i)   =Σ_(i=0) ^n  (((−1)^i )/(n−i+1))x^(2n−i)  ⇒  Σ_(n=0) ^∞ (−1)^n  x^n  ×Σ_(n=0) ^∞  (x^(2n) /(n+1)) =Σ_(n=0) ^∞ Σ_(i=0) ^n  (((−1)^i )/(n−i+1)) x^(2n−i)
$$\mathrm{here}\:\mathrm{we}\:\mathrm{use}\:\Sigma\:\mathrm{a}_{\mathrm{n}} ×\Sigma\:\mathrm{b}_{\mathrm{n}} =\Sigma\:\mathrm{c}_{\mathrm{n}} \: \\ $$$$\mathrm{c}_{\mathrm{n}} =\sum_{\mathrm{i}+\mathrm{j}\:=\mathrm{n}} \:\mathrm{a}_{\mathrm{i}} \mathrm{b}_{\mathrm{j}} \:=\sum_{\mathrm{i}=\mathrm{0}} ^{\mathrm{n}} \:\mathrm{a}_{\mathrm{i}} \mathrm{b}_{\mathrm{n}−\mathrm{i}} \\ $$$$=\sum_{\mathrm{i}=\mathrm{0}} ^{\mathrm{n}} \:\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{i}} \:\mathrm{x}^{\mathrm{i}} \:\:\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{2}\left(\mathrm{n}−\mathrm{i}\right)} }{\mathrm{n}−\mathrm{i}\:+\mathrm{1}}\:=\sum_{\mathrm{i}=\mathrm{0}} ^{\mathrm{n}} \:\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{i}} }{\mathrm{n}−\mathrm{i}+\mathrm{1}}\:\mathrm{x}^{\mathrm{i}+\mathrm{2n}−\mathrm{2i}} \\ $$$$=\sum_{\mathrm{i}=\mathrm{0}} ^{\mathrm{n}} \:\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{i}} }{\mathrm{n}−\mathrm{i}+\mathrm{1}}\mathrm{x}^{\mathrm{2n}−\mathrm{i}} \:\Rightarrow \\ $$$$\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{0}} ^{\infty} \left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}} \:\mathrm{x}^{\mathrm{n}} \:×\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{0}} ^{\infty} \:\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{2n}} }{\mathrm{n}+\mathrm{1}}\:=\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{0}} ^{\infty} \sum_{\mathrm{i}=\mathrm{0}} ^{\mathrm{n}} \:\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{i}} }{\mathrm{n}−\mathrm{i}+\mathrm{1}}\:\mathrm{x}^{\mathrm{2n}−\mathrm{i}} \\ $$

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