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calculate-n-0-n-2-2-n-




Question Number 31983 by abdo imad last updated on 17/Mar/18
calculate  Σ_(n=0) ^∞  ((n^2  −2)/(n!))  .
$${calculate}\:\:\sum_{{n}=\mathrm{0}} ^{\infty} \:\frac{{n}^{\mathrm{2}} \:−\mathrm{2}}{{n}!}\:\:. \\ $$
Commented by prakash jain last updated on 18/Mar/18
n^2 −2=an(n−1)+bn+c  c=−2  b=1  a=1  n^2 −2=n(n−1)+n−2  Σ_(n=0) ^∞ ((n^2 −2)/(n!))=Σ_(n=0) ^∞ (((n(n−1))/(n!))+(n/(n!))−(2/(n!)))  =e+e−2e=0
$${n}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2}={an}\left({n}−\mathrm{1}\right)+{bn}+{c} \\ $$$${c}=−\mathrm{2} \\ $$$${b}=\mathrm{1} \\ $$$${a}=\mathrm{1} \\ $$$${n}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2}={n}\left({n}−\mathrm{1}\right)+{n}−\mathrm{2} \\ $$$$\underset{{n}=\mathrm{0}} {\overset{\infty} {\sum}}\frac{{n}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2}}{{n}!}=\underset{{n}=\mathrm{0}} {\overset{\infty} {\sum}}\left(\frac{{n}\left({n}−\mathrm{1}\right)}{{n}!}+\frac{{n}}{{n}!}−\frac{\mathrm{2}}{{n}!}\right) \\ $$$$={e}+{e}−\mathrm{2}{e}=\mathrm{0} \\ $$
Commented by abdo imad last updated on 18/Mar/18
Σ_(n=0) ^∞  ((n^2 −2)/(n!)) =Σ_(n=0) ^∞   (n^2 /(n!)) −2 Σ_(n=0) ^∞  (1/(n!)) but we have  Σ_(n=0) ^∞  (1/(n!)) =e  Σ_(n=0) ^∞  (n^2 /(n!)) =Σ_(n=1) ^∞  (n/((n−1)!)) = Σ_(n=0) ^∞  ((n+1)/(n!))  = Σ_(n=1) ^∞  (1/((n−1)!))  +Σ_(n=0) ^∞   (1/(n!))  = Σ_(n=0) ^∞  (1/(n!)) +e =2e ⇒  Σ_(n=0) ^∞  ((n^2 −2)/(n!)) =2e −2e =0 .
$$\sum_{{n}=\mathrm{0}} ^{\infty} \:\frac{{n}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2}}{{n}!}\:=\sum_{{n}=\mathrm{0}} ^{\infty} \:\:\frac{{n}^{\mathrm{2}} }{{n}!}\:−\mathrm{2}\:\sum_{{n}=\mathrm{0}} ^{\infty} \:\frac{\mathrm{1}}{{n}!}\:{but}\:{we}\:{have} \\ $$$$\sum_{{n}=\mathrm{0}} ^{\infty} \:\frac{\mathrm{1}}{{n}!}\:={e} \\ $$$$\sum_{{n}=\mathrm{0}} ^{\infty} \:\frac{{n}^{\mathrm{2}} }{{n}!}\:=\sum_{{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \:\frac{{n}}{\left({n}−\mathrm{1}\right)!}\:=\:\sum_{{n}=\mathrm{0}} ^{\infty} \:\frac{{n}+\mathrm{1}}{{n}!} \\ $$$$=\:\sum_{{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \:\frac{\mathrm{1}}{\left({n}−\mathrm{1}\right)!}\:\:+\sum_{{n}=\mathrm{0}} ^{\infty} \:\:\frac{\mathrm{1}}{{n}!} \\ $$$$=\:\sum_{{n}=\mathrm{0}} ^{\infty} \:\frac{\mathrm{1}}{{n}!}\:+{e}\:=\mathrm{2}{e}\:\Rightarrow \\ $$$$\sum_{{n}=\mathrm{0}} ^{\infty} \:\frac{{n}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2}}{{n}!}\:=\mathrm{2}{e}\:−\mathrm{2}{e}\:=\mathrm{0}\:. \\ $$$$ \\ $$

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