Question Number 31983 by abdo imad last updated on 17/Mar/18
$${calculate}\:\:\sum_{{n}=\mathrm{0}} ^{\infty} \:\frac{{n}^{\mathrm{2}} \:−\mathrm{2}}{{n}!}\:\:. \\ $$
Commented by prakash jain last updated on 18/Mar/18
$${n}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2}={an}\left({n}−\mathrm{1}\right)+{bn}+{c} \\ $$$${c}=−\mathrm{2} \\ $$$${b}=\mathrm{1} \\ $$$${a}=\mathrm{1} \\ $$$${n}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2}={n}\left({n}−\mathrm{1}\right)+{n}−\mathrm{2} \\ $$$$\underset{{n}=\mathrm{0}} {\overset{\infty} {\sum}}\frac{{n}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2}}{{n}!}=\underset{{n}=\mathrm{0}} {\overset{\infty} {\sum}}\left(\frac{{n}\left({n}−\mathrm{1}\right)}{{n}!}+\frac{{n}}{{n}!}−\frac{\mathrm{2}}{{n}!}\right) \\ $$$$={e}+{e}−\mathrm{2}{e}=\mathrm{0} \\ $$
Commented by abdo imad last updated on 18/Mar/18
$$\sum_{{n}=\mathrm{0}} ^{\infty} \:\frac{{n}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2}}{{n}!}\:=\sum_{{n}=\mathrm{0}} ^{\infty} \:\:\frac{{n}^{\mathrm{2}} }{{n}!}\:−\mathrm{2}\:\sum_{{n}=\mathrm{0}} ^{\infty} \:\frac{\mathrm{1}}{{n}!}\:{but}\:{we}\:{have} \\ $$$$\sum_{{n}=\mathrm{0}} ^{\infty} \:\frac{\mathrm{1}}{{n}!}\:={e} \\ $$$$\sum_{{n}=\mathrm{0}} ^{\infty} \:\frac{{n}^{\mathrm{2}} }{{n}!}\:=\sum_{{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \:\frac{{n}}{\left({n}−\mathrm{1}\right)!}\:=\:\sum_{{n}=\mathrm{0}} ^{\infty} \:\frac{{n}+\mathrm{1}}{{n}!} \\ $$$$=\:\sum_{{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \:\frac{\mathrm{1}}{\left({n}−\mathrm{1}\right)!}\:\:+\sum_{{n}=\mathrm{0}} ^{\infty} \:\:\frac{\mathrm{1}}{{n}!} \\ $$$$=\:\sum_{{n}=\mathrm{0}} ^{\infty} \:\frac{\mathrm{1}}{{n}!}\:+{e}\:=\mathrm{2}{e}\:\Rightarrow \\ $$$$\sum_{{n}=\mathrm{0}} ^{\infty} \:\frac{{n}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2}}{{n}!}\:=\mathrm{2}{e}\:−\mathrm{2}{e}\:=\mathrm{0}\:. \\ $$$$ \\ $$