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calculate-n-1-1-n-n-2-n-2-3-

Tinku Tara 0 Comments
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Question Number 95217 by mathmax by abdo last updated on 24/May/20
calculate Σ_(n=1) ^∞ (((−1)^n )/(n^2 (n+2)^3 ))
$$\mathrm{calculate}\:\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \:\:\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}} }{\mathrm{n}^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{n}+\mathrm{2}\right)^{\mathrm{3}} } \\ $$
Answered by mathmax by abdo last updated on 25/May/20
let decompose F(x) =(1/(x^2 (x+2)^3 )) ⇒F(x) =Σ_(i=1) ^2 (a_i /x^i ) +Σ_(i=1) ^3 (b_i /((x+2)^i )) a_i ? we find D_1 (0) for f(x) =(x+2)^(−3) ⇒f^′ (x) =−3(x+2)^(−4) f(x) =f(o) +xf^′ (0) +(x^2 /(2!))ξ(x) =2^(−3) −3.2^(−4) x +(x^2 /2)ξ(x) ⇒ ((f(x))/x^2 ) =(2^(−3) /x^2 )−((3.2^(−4) )/x) +(x/2)ξ(x) ⇒a_1 =−(3/2^4 ) and a_2 =(1/2^3 ) b_i we find D_2 (−2) for g(x) =x^(−2) ⇒g^′ (x)=−2x^(−3) ⇒g^((2)) (x)=6x^(−4) g(x)=g(−2) +((x+2)/!)g^′ (−2) +(((x+2)^2 )/(2!))g^((2)) (−2) +(((x+2)^3 )/(3!))ξ(x) =(−2)^(−2) +(x+2)(−2)(−2)^(−3) +(((x+2)^2 )/2)(6)(−2)^(−4) +(((x+2)^3 )/6)ξ(x) ((g(x))/((x+2)^3 )) =(((−2)^(−2) )/((x+2)^3 )) +(((−2)^(−2) )/((x+2)^2 )) +((3(−2)^(−4) )/(x+2)) +(1/6)ξ(x) ⇒ b_1 =(3/(16)) ,b_2 =(1/4) , b_3 =(1/4) ⇒ F(x) =−(3/(16x)) +(1/(8x^2 )) +(3/(16(x+2))) +(1/(4(x+2)^2 )) +(1/(4(x+2)^3 )) ⇒ Σ_(k=1) ^n (((−1)^k )/(k^2 (k+1)^3 )) =−(3/(16))Σ_(k=1) ^n (((−1)^k )/k) +(1/8)Σ_(k=1) ^n (((−1)^k )/k^2 ) +(3/(16))Σ_(k=1) ^n (((−1)^k )/(k+2)) +(1/4)Σ_(k=1) ^n (((−1)^k )/((k+2)^2 )) +(1/4)Σ_(k=1) ^n (((−1)^k )/((k+2)^3 )) Σ_(k=1) ^n (((−1)^k )/k)→−ln(2)(n→+∞) Σ_(k=1) ^n (((−1)^k )/k^2 ) →δ(2) =(2^(1−2) −1)ξ(2) =−(1/2)×(π^2 /6) =−(π^2 /(12)) Σ_(k=1) ^n (((−1)^k )/(k+2)) =Σ_(k=3) ^(n+2) (((−1)^k )/k) →Σ_(k=3) ^∞ (((−1)^k )/k) =−ln2− (−1+(1/2))=−ln2+(1/2) Σ_(k=1) ^n (((−1)^k )/((k+2)^2 )) =Σ_(k=3) ^(n+2) (((−1)^k )/k^2 ) →Σ_(k=3) ^∞ (((−1)^k )/k^2 ) =−(π^2 /(12)) −(−1+(1/4)) =(3/4)−(π^2 /(12)) Σ_(k=1) ^n (((−1)^k )/((k+2)^3 )) =Σ_(k=3) ^(n+2) (((−1)^k )/k^3 ) →Σ_(k=3) ^∞ (((−1)^k )/k^3 ) −(−1+(1/8)) =(2^(1−3) −1)ξ(3) +(7/8) =((1/4)−1)ξ(3)+(7/8) =(7/8)−(3/4)ξ(3) the value of this sum is known...
$$\mathrm{let}\:\mathrm{decompose}\:\mathrm{F}\left(\mathrm{x}\right)\:=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{x}+\mathrm{2}\right)^{\mathrm{3}} }\:\Rightarrow\mathrm{F}\left(\mathrm{x}\right)\:=\sum_{\mathrm{i}=\mathrm{1}} ^{\mathrm{2}} \:\frac{\mathrm{a}_{\mathrm{i}} }{\mathrm{x}^{\mathrm{i}} }\:+\sum_{\mathrm{i}=\mathrm{1}} ^{\mathrm{3}} \:\frac{\mathrm{b}_{\mathrm{i}} }{\left(\mathrm{x}+\mathrm{2}\right)^{\mathrm{i}} } \\ $$$$\mathrm{a}_{\mathrm{i}} ?\:\:\mathrm{we}\:\mathrm{find}\:\mathrm{D}_{\mathrm{1}} \left(\mathrm{0}\right)\:\mathrm{for}\:\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\:=\left(\mathrm{x}+\mathrm{2}\right)^{−\mathrm{3}} \:\Rightarrow\mathrm{f}^{'} \left(\mathrm{x}\right)\:=−\mathrm{3}\left(\mathrm{x}+\mathrm{2}\right)^{−\mathrm{4}} \\ $$$$\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\:=\mathrm{f}\left(\mathrm{o}\right)\:+\mathrm{xf}^{'} \left(\mathrm{0}\right)\:+\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{2}!}\xi\left(\mathrm{x}\right)\:=\mathrm{2}^{−\mathrm{3}} \:\:−\mathrm{3}.\mathrm{2}^{−\mathrm{4}} \:\mathrm{x}\:+\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{2}}\xi\left(\mathrm{x}\right)\:\Rightarrow \\ $$$$\frac{\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }\:=\frac{\mathrm{2}^{−\mathrm{3}} }{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }−\frac{\mathrm{3}.\mathrm{2}^{−\mathrm{4}} }{\mathrm{x}}\:+\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{2}}\xi\left(\mathrm{x}\right)\:\Rightarrow\mathrm{a}_{\mathrm{1}} =−\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{2}^{\mathrm{4}} }\:\mathrm{and}\:\mathrm{a}_{\mathrm{2}} =\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}^{\mathrm{3}} } \\ $$$$\mathrm{b}_{\mathrm{i}} \:\mathrm{we}\:\mathrm{find}\:\mathrm{D}_{\mathrm{2}} \left(−\mathrm{2}\right)\:\mathrm{for}\:\mathrm{g}\left(\mathrm{x}\right)\:=\mathrm{x}^{−\mathrm{2}} \:\Rightarrow\mathrm{g}^{'} \left(\mathrm{x}\right)=−\mathrm{2x}^{−\mathrm{3}} \:\Rightarrow\mathrm{g}^{\left(\mathrm{2}\right)} \left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{6x}^{−\mathrm{4}} \\ $$$$\mathrm{g}\left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{g}\left(−\mathrm{2}\right)\:+\frac{\mathrm{x}+\mathrm{2}}{!}\mathrm{g}^{'} \left(−\mathrm{2}\right)\:+\frac{\left(\mathrm{x}+\mathrm{2}\right)^{\mathrm{2}} }{\mathrm{2}!}\mathrm{g}^{\left(\mathrm{2}\right)} \left(−\mathrm{2}\right)\:+\frac{\left(\mathrm{x}+\mathrm{2}\right)^{\mathrm{3}} }{\mathrm{3}!}\xi\left(\mathrm{x}\right) \\ $$$$=\left(−\mathrm{2}\right)^{−\mathrm{2}} \:+\left(\mathrm{x}+\mathrm{2}\right)\left(−\mathrm{2}\right)\left(−\mathrm{2}\right)^{−\mathrm{3}} \:+\frac{\left(\mathrm{x}+\mathrm{2}\right)^{\mathrm{2}} }{\mathrm{2}}\left(\mathrm{6}\right)\left(−\mathrm{2}\right)^{−\mathrm{4}} \:+\frac{\left(\mathrm{x}+\mathrm{2}\right)^{\mathrm{3}} }{\mathrm{6}}\xi\left(\mathrm{x}\right) \\ $$$$\frac{\mathrm{g}\left(\mathrm{x}\right)}{\left(\mathrm{x}+\mathrm{2}\right)^{\mathrm{3}} }\:=\frac{\left(−\mathrm{2}\right)^{−\mathrm{2}} }{\left(\mathrm{x}+\mathrm{2}\right)^{\mathrm{3}} }\:+\frac{\left(−\mathrm{2}\right)^{−\mathrm{2}} }{\left(\mathrm{x}+\mathrm{2}\right)^{\mathrm{2}} }\:+\frac{\mathrm{3}\left(−\mathrm{2}\right)^{−\mathrm{4}} }{\mathrm{x}+\mathrm{2}}\:+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{6}}\xi\left(\mathrm{x}\right)\:\Rightarrow \\ $$$$\mathrm{b}_{\mathrm{1}} =\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{16}}\:,\mathrm{b}_{\mathrm{2}} =\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}\:\:,\:\mathrm{b}_{\mathrm{3}} =\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}\:\Rightarrow \\ $$$$\mathrm{F}\left(\mathrm{x}\right)\:=−\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{16x}}\:+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{8x}^{\mathrm{2}} }\:+\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{16}\left(\mathrm{x}+\mathrm{2}\right)}\:+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}\left(\mathrm{x}+\mathrm{2}\right)^{\mathrm{2}} }\:+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}\left(\mathrm{x}+\mathrm{2}\right)^{\mathrm{3}} }\:\Rightarrow \\ $$$$\sum_{\mathrm{k}=\mathrm{1}} ^{\mathrm{n}} \:\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{k}} }{\mathrm{k}^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{k}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{3}} }\:=−\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{16}}\sum_{\mathrm{k}=\mathrm{1}} ^{\mathrm{n}} \:\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{k}} }{\mathrm{k}}\:+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{8}}\sum_{\mathrm{k}=\mathrm{1}} ^{\mathrm{n}} \:\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{k}} }{\mathrm{k}^{\mathrm{2}} }\:+\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{16}}\sum_{\mathrm{k}=\mathrm{1}} ^{\mathrm{n}} \frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{k}} }{\mathrm{k}+\mathrm{2}} \\ $$$$+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}\sum_{\mathrm{k}=\mathrm{1}} ^{\mathrm{n}} \:\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{k}} }{\left(\mathrm{k}+\mathrm{2}\right)^{\mathrm{2}} }\:+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}\sum_{\mathrm{k}=\mathrm{1}} ^{\mathrm{n}} \:\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{k}} }{\left(\mathrm{k}+\mathrm{2}\right)^{\mathrm{3}} } \\ $$$$\sum_{\mathrm{k}=\mathrm{1}} ^{\mathrm{n}} \:\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{k}} }{\mathrm{k}}\rightarrow−\mathrm{ln}\left(\mathrm{2}\right)\left(\mathrm{n}\rightarrow+\infty\right) \\ $$$$\sum_{\mathrm{k}=\mathrm{1}} ^{\mathrm{n}} \:\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{k}} }{\mathrm{k}^{\mathrm{2}} }\:\rightarrow\delta\left(\mathrm{2}\right)\:=\left(\mathrm{2}^{\mathrm{1}−\mathrm{2}} −\mathrm{1}\right)\xi\left(\mathrm{2}\right)\:=−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}×\frac{\pi^{\mathrm{2}} }{\mathrm{6}}\:=−\frac{\pi^{\mathrm{2}} }{\mathrm{12}} \\ $$$$\sum_{\mathrm{k}=\mathrm{1}} ^{\mathrm{n}} \:\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{k}} }{\mathrm{k}+\mathrm{2}}\:=\sum_{\mathrm{k}=\mathrm{3}} ^{\mathrm{n}+\mathrm{2}} \:\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{k}} }{\mathrm{k}}\:\rightarrow\sum_{\mathrm{k}=\mathrm{3}} ^{\infty} \:\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{k}} }{\mathrm{k}} \\ $$$$=−\mathrm{ln2}−\:\left(−\mathrm{1}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\right)=−\mathrm{ln2}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}} \\ $$$$\sum_{\mathrm{k}=\mathrm{1}} ^{\mathrm{n}} \:\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{k}} }{\left(\mathrm{k}+\mathrm{2}\right)^{\mathrm{2}} }\:=\sum_{\mathrm{k}=\mathrm{3}} ^{\mathrm{n}+\mathrm{2}} \:\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{k}} }{\mathrm{k}^{\mathrm{2}} }\:\rightarrow\sum_{\mathrm{k}=\mathrm{3}} ^{\infty} \:\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{k}} }{\mathrm{k}^{\mathrm{2}} }\:=−\frac{\pi^{\mathrm{2}} }{\mathrm{12}}\:−\left(−\mathrm{1}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}\right) \\ $$$$=\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{4}}−\frac{\pi^{\mathrm{2}} }{\mathrm{12}} \\ $$$$\sum_{\mathrm{k}=\mathrm{1}} ^{\mathrm{n}} \:\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{k}} }{\left(\mathrm{k}+\mathrm{2}\right)^{\mathrm{3}} }\:=\sum_{\mathrm{k}=\mathrm{3}} ^{\mathrm{n}+\mathrm{2}} \:\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{k}} }{\mathrm{k}^{\mathrm{3}} }\:\rightarrow\sum_{\mathrm{k}=\mathrm{3}} ^{\infty} \:\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{k}} }{\mathrm{k}^{\mathrm{3}} }\:−\left(−\mathrm{1}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{8}}\right) \\ $$$$=\left(\mathrm{2}^{\mathrm{1}−\mathrm{3}} −\mathrm{1}\right)\xi\left(\mathrm{3}\right)\:+\frac{\mathrm{7}}{\mathrm{8}}\:=\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}−\mathrm{1}\right)\xi\left(\mathrm{3}\right)+\frac{\mathrm{7}}{\mathrm{8}}\:=\frac{\mathrm{7}}{\mathrm{8}}−\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{4}}\xi\left(\mathrm{3}\right) \\ $$$$\mathrm{the}\:\mathrm{value}\:\mathrm{of}\:\mathrm{this}\:\mathrm{sum}\:\mathrm{is}\:\mathrm{known}… \\ $$

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