Question Number 174118 by Mathspace last updated on 25/Jul/22
$${calculate}\:\sum_{{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \:\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{{n}} }{{n}}\:{by}\:{using} \\ $$$$\psi\:\:\left({digamma}\right) \\ $$
Answered by mnjuly1970 last updated on 25/Jul/22
$$\:\:\:\underset{{n}=\mathrm{1}} {\overset{\infty} {\sum}}\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{\:{n}} }{{n}}\:=\:\underset{{n}=\mathrm{1}} {\overset{\infty} {\sum}}\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}{n}}\:−\underset{{n}=\mathrm{1}} {\overset{\infty} {\sum}}\frac{\:\mathrm{1}}{\mathrm{2}{n}−\mathrm{1}} \\ $$$$\:\:\:\:\:=\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\left\{\underset{{n}=\mathrm{1}} {\overset{\infty} {\sum}}\frac{\mathrm{1}}{{n}}\:−\underset{{n}=\mathrm{1}} {\overset{\infty} {\sum}}\frac{\mathrm{1}}{{n}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}}\right\} \\ $$$$\:\:\:\:=\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\:{lim}_{{n}\rightarrow\infty} \left\{\gamma−\gamma\:+\underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{{n}} {\sum}}\left(\frac{\mathrm{1}}{{k}}−\frac{\mathrm{1}}{{k}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}}\right)\right\} \\ $$$$\:\:\:\:=\:\:\frac{\gamma}{\mathrm{2}}\:+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\:\psi\:\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\right)\:=\:\frac{\gamma}{\mathrm{2}}+\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\left(−\gamma−\mathrm{2}{ln}\left(\mathrm{2}\right)\right) \\ $$$$\:\:\:\:\:=\:−{ln}\left(\mathrm{2}\right)\:\:\blacksquare \\ $$