Question Number 45240 by maxmathsup by imad last updated on 10/Oct/18
$${calculate}\:\sum_{{n}=\mathrm{2}} ^{\infty} \:\:\frac{\mathrm{2}{n}+\mathrm{1}}{{n}^{\mathrm{4}} −{n}^{\mathrm{2}} } \\ $$
Commented by maxmathsup by imad last updated on 11/Oct/18
$${let}\:{decompose}\:{F}\left({x}\right)=\frac{\mathrm{2}{x}+\mathrm{1}}{{x}^{\mathrm{4}} −{x}^{\mathrm{2}} }\:=\frac{\mathrm{2}{x}+\mathrm{1}}{{x}^{\mathrm{2}} \left({x}−\mathrm{1}\right)\left({x}+\mathrm{1}\right)}\:\Rightarrow \\ $$$${F}\left({x}\right)=\frac{{a}}{{x}}\:+\frac{{b}}{{x}^{\mathrm{2}} }\:+\frac{{c}}{{x}−\mathrm{1}}\:+\frac{{d}}{{x}+\mathrm{1}} \\ $$$${b}\:={lim}_{{x}\rightarrow\mathrm{0}} {x}^{\mathrm{2}} {F}\left({x}\right)\:=−\mathrm{1} \\ $$$${c}\:={lim}_{{x}\rightarrow\mathrm{1}} \left({x}−\mathrm{1}\right){F}\left({x}\right)=\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{2}} \\ $$$${d}\:={lim}_{{x}\rightarrow−\mathrm{1}} \left({x}+\mathrm{1}\right){F}\left({x}\right)\:=\frac{−\mathrm{1}}{−\mathrm{2}}\:=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\:\Rightarrow{F}\left({x}\right)=\frac{{a}}{{x}}\:−\frac{\mathrm{1}}{{x}^{\mathrm{2}} }\:+\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{2}\left({x}−\mathrm{1}\right)}\:+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}\left({x}+\mathrm{1}\right)} \\ $$$${F}\left(\mathrm{2}\right)\:=\:\frac{\mathrm{5}}{\mathrm{4}.\mathrm{3}}\:=\frac{\mathrm{5}}{\mathrm{12}}\:=\frac{{a}}{\mathrm{2}}\:−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}\:+\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{2}}\:+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{6}}\:\:\Rightarrow\mathrm{5}\:=\mathrm{6}{a}−\mathrm{3}\:+\mathrm{18}\:+\mathrm{2}\:\Rightarrow\mathrm{5}=\mathrm{6}{a}\:+\mathrm{17}\:\Rightarrow \\ $$$$\mathrm{6}{a}=−\mathrm{12}\:\Rightarrow{a}\:=−\mathrm{2}\:\Rightarrow{F}\left({x}\right)=−\frac{\mathrm{2}}{{x}}\:−\frac{\mathrm{1}}{{x}^{\mathrm{2}} }\:+\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{2}\left({x}−\mathrm{1}\right)}\:+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}\left({x}+\mathrm{1}\right)} \\ $$$${let}\:{S}_{{n}} =\sum_{{k}=\mathrm{2}} ^{\infty} \:\frac{\mathrm{2}{k}+\mathrm{1}}{{k}^{\mathrm{4}} −{k}^{\mathrm{2}} }\:\Rightarrow{S}_{{n}} =\sum_{{k}=\mathrm{2}} ^{{n}} \:{F}\left({k}\right) \\ $$$$=−\mathrm{2}\:\sum_{{k}=\mathrm{2}} ^{{n}} \:\frac{\mathrm{1}}{{k}}\:−\sum_{{k}=\mathrm{2}} ^{{n}} \:\frac{\mathrm{1}}{{k}^{\mathrm{2}} }\:+\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{2}}\:\sum_{{k}=\mathrm{2}} ^{{n}} \:\frac{\mathrm{1}}{{k}−\mathrm{1}}\:+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\sum_{{k}=\mathrm{2}} ^{{n}} \:\frac{\mathrm{1}}{{k}+\mathrm{1}}\:{but} \\ $$$$\sum_{{k}=\mathrm{2}} ^{{n}} \:\frac{\mathrm{1}}{{k}}={H}_{{n}} −\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{2}} \\ $$$$\sum_{{k}=\mathrm{2}} ^{{n}} \:=\xi_{{n}} \left(\mathrm{2}\right)−\mathrm{1} \\ $$$$\sum_{{k}=\mathrm{2}} ^{{n}} \:\frac{\mathrm{1}}{{k}−\mathrm{1}}\:=\sum_{{k}=\mathrm{1}} ^{{n}−\mathrm{1}} \:\frac{\mathrm{1}}{{k}}\:={H}_{{n}−\mathrm{1}} \\ $$$$\sum_{{k}=\mathrm{2}} ^{{n}} \:\:\frac{\mathrm{1}}{{k}+\mathrm{1}}\:=\sum_{{k}=\mathrm{3}} ^{{n}+\mathrm{1}} \:\frac{\mathrm{1}}{{k}}={H}_{{n}+\mathrm{1}} \:−\mathrm{1}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}\:={H}_{{n}+\mathrm{1}} −\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{2}}\:−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}\:={H}_{{n}+\mathrm{1}} −\frac{\mathrm{11}}{\mathrm{6}}\:\Rightarrow \\ $$$${S}_{{n}} =−\mathrm{2}{H}_{{n}} \:\:+\mathrm{3}\:\:+\xi_{{n}} \left(\mathrm{2}\right)−\mathrm{1}\:+\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{2}}\:{H}_{{n}−\mathrm{1}} \:+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\:{H}_{{n}+\mathrm{1}} −\frac{\mathrm{11}}{\mathrm{12}} \\ $$$$=−\mathrm{2}{H}_{{n}} \:+\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{2}}\:{H}_{{n}−\mathrm{1}} +\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\:{H}_{{n}+\mathrm{1}} \:+\xi_{{n}} \left(\mathrm{2}\right)+\mathrm{2}−\frac{\mathrm{11}}{\mathrm{12}}\:\Rightarrow \\ $$$${S}_{{n}} \:=−\mathrm{2}\left({ln}\left({n}\right)\:+\gamma\:+{o}\left(\frac{\mathrm{1}}{{n}}\right)\right)+\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{2}}\left(\:{ln}\left({n}−\mathrm{1}\right)+\gamma\:+{o}\left(\frac{\mathrm{1}}{{n}}\right)\right)+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\left({ln}\left({n}\right)+\gamma\:+{o}\left(\frac{\mathrm{1}}{{n}}\right)\right)+\xi_{{n}} \left(\mathrm{2}\right)+\frac{\mathrm{13}}{\mathrm{12}} \\ $$$$=−\mathrm{2}{ln}\left({n}\right)\:+\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{2}}{ln}\left({n}−\mathrm{1}\right)\:+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}{ln}\left({n}\right)\:+{o}\left(\frac{\mathrm{1}}{{n}}\right)\:+\xi_{{n}} \left(\mathrm{2}\right)+\frac{\mathrm{13}}{\mathrm{12}} \\ $$$$={ln}\left(\sqrt{\left({n}−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{3}} }\sqrt{{n}}\right)−{ln}\left({n}^{\mathrm{2}} \right)\:+{o}\left(\frac{\mathrm{1}}{{n}}\right)+\xi_{{n}} \left(\mathrm{2}\right)+\frac{\mathrm{13}}{\mathrm{12}} \\ $$$$={ln}\left\{\frac{\left({n}−\mathrm{1}\right)\sqrt{{n}\left({n}−\mathrm{1}\right)}}{{n}^{\mathrm{2}} }\right\}+{o}\left(\frac{\mathrm{1}}{{n}}\right)+\xi_{{n}} \left(\mathrm{2}\right)+\frac{\mathrm{13}}{\mathrm{12}}\:\Rightarrow \\ $$$${lim}_{{n}\rightarrow+\infty} \:{S}_{{n}} =\xi\left(\mathrm{2}\right)+\frac{\mathrm{13}}{\mathrm{12}}\:=\frac{\pi^{\mathrm{2}} }{\mathrm{6}}\:+\frac{\mathrm{13}}{\mathrm{12}}\:. \\ $$
Answered by ajfour last updated on 11/Oct/18
$$\underset{{n}=\mathrm{2}} {\overset{\infty} {\sum}}\:\:\frac{\mathrm{2}{n}+\mathrm{1}}{{n}^{\mathrm{2}} \left({n}−\mathrm{1}\right)\left({n}+\mathrm{1}\right)} \\ $$$$=\Sigma\frac{\left({n}+\mathrm{1}\right)+\left({n}−\mathrm{1}\right)}{\left({n}−\mathrm{1}\right){nn}\left({n}+\mathrm{1}\right)}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\Sigma\frac{\left({n}+\mathrm{1}\right)−\left({n}−\mathrm{1}\right)}{\left({n}−\mathrm{1}\right){nn}\left({n}+\mathrm{1}\right)} \\ $$$$=\Sigma\frac{\mathrm{1}}{\left({n}−\mathrm{1}\right){n}^{\mathrm{2}} }+\Sigma\frac{\mathrm{1}}{{n}^{\mathrm{2}} \left({n}+\mathrm{1}\right)} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\Sigma\frac{\mathrm{1}}{\left({n}−\mathrm{1}\right){n}^{\mathrm{2}} }−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\Sigma\frac{\mathrm{1}}{{n}^{\mathrm{2}} \left({n}+\mathrm{1}\right)} \\ $$$$=\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{2}}\Sigma\frac{\mathrm{1}}{\left({n}−\mathrm{1}\right){n}^{\mathrm{2}} }+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\Sigma\frac{\mathrm{1}}{{n}^{\mathrm{2}} \left({n}+\mathrm{1}\right)} \\ $$$$=\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{4}}\Sigma\left(\frac{\mathrm{1}}{\left({n}−\mathrm{1}\right){n}}−\frac{\mathrm{1}}{{n}^{\mathrm{2}} }\right)+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}\Sigma\left(\frac{\mathrm{1}}{{n}^{\mathrm{2}} }−\frac{\mathrm{1}}{{n}\left({n}+\mathrm{1}\right)}\right) \\ $$$$=\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{4}}\Sigma\left(\frac{\mathrm{1}}{{n}−\mathrm{1}}−\frac{\mathrm{1}}{{n}}\right)−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}\Sigma\left(\frac{\mathrm{1}}{{n}}−\frac{\mathrm{1}}{{n}+\mathrm{1}}\right) \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\Sigma\frac{\mathrm{1}}{{n}^{\mathrm{2}} } \\ $$$$=\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{4}}\left(\mathrm{1}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}+..\right)−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}+..\right) \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{9}}+…\right) \\ $$$$\:=\:\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{4}}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{8}}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{9}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{16}}+..\right) \\ $$$$\mathrm{ln}\:\left(\mathrm{1}−{x}\right)=−\left({x}+\frac{{x}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{2}}+\frac{{x}^{\mathrm{3}} }{\mathrm{3}}+…\right) \\ $$$$\int_{\mathrm{0}} ^{\:\:\mathrm{1}} \:\frac{\mathrm{ln}\:\left(\mathrm{1}−{x}\right)}{{x}}{dx}=−\left(\mathrm{1}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{9}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{16}}+..\right) \\ $$$${so}\: \\ $$$$\underset{{n}=\mathrm{2}} {\overset{\infty} {\sum}}\:\:\frac{\mathrm{2}{n}+\mathrm{1}}{{n}^{\mathrm{4}} −{n}^{\mathrm{2}} }\:=\:\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{4}}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{8}}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\left[\mathrm{1}+\int_{\mathrm{0}} ^{\:\:\mathrm{1}} \frac{\mathrm{ln}\:\left(\mathrm{1}−{x}\right)}{{x}}{dx}\right] \\ $$$$…..\:\left({cant}\:{solve}\:{the}\:{integral},\:{sir}\:\right). \\ $$
Answered by tanmay.chaudhury50@gmail.com last updated on 11/Oct/18
$$\frac{\mathrm{2}{n}+\mathrm{1}}{{n}^{\mathrm{2}} \left({n}+\mathrm{1}\right)\left({n}−\mathrm{1}\right)}=\frac{{a}}{{n}}+\frac{{b}}{{n}^{\mathrm{2}} }+\frac{{c}}{{n}+\mathrm{1}}+\frac{{d}}{{n}−\mathrm{1}} \\ $$$$\mathrm{2}{n}+\mathrm{1}={an}\left({n}+\mathrm{1}\right)\left({n}−\mathrm{1}\right)+{b}\left({n}+\mathrm{1}\right)\left({n}−\mathrm{1}\right)+{cn}^{\mathrm{2}} \left({n}−\mathrm{1}\right)+{dn}^{\mathrm{2}} \left({n}+\mathrm{1}\right) \\ $$$${put}\:{n}=\mathrm{0}\: \\ $$$$\mathrm{1}={b}\left(−\mathrm{1}\right)\:\:{b}=−\mathrm{1} \\ $$$${put}\:{n}−\mathrm{1}=\mathrm{0} \\ $$$$\mathrm{3}={d}×\mathrm{1}×\mathrm{2}\:\:\:{d}=\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{2}} \\ $$$${put}\:{n}+\mathrm{1}=\mathrm{0} \\ $$$$−\mathrm{2}+\mathrm{1}={c}×\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} ×\left(−\mathrm{2}\right) \\ $$$$−\mathrm{1}=−\mathrm{2}{c}\:\:\:{c}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}} \\ $$$$\mathrm{2}{n}+\mathrm{1}={an}\left({n}+\mathrm{1}\right)\left({n}−\mathrm{1}\right)+{b}\left({n}+\mathrm{1}\right)\left({n}−\mathrm{1}\right)+{cn}^{\mathrm{2}} \left({n}−\mathrm{1}\right)+{dn}^{\mathrm{2}} \left({n}+\mathrm{1}\right) \\ $$$$\mathrm{2}{n}+\mathrm{1}={a}\left({n}^{\mathrm{3}} −{n}\right)+\left(−\mathrm{1}\right)\left({n}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}\right)+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}{n}^{\mathrm{2}} \left({n}−\mathrm{1}\right)+\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{2}}{n}^{\mathrm{2}} \left({n}+\mathrm{1}\right) \\ $$$$\mathrm{2}{n}+\mathrm{1}={n}^{\mathrm{3}} \left({a}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}+\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{2}}\right)+{n}^{\mathrm{2}} \left(−\mathrm{1}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}+\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{2}}\right)+{n}\left(−{a}\right)+\mathrm{1} \\ $$$${a}+\mathrm{2}=\mathrm{0}\:\:{a}=−\mathrm{2} \\ $$$$=\underset{{n}=\mathrm{2}} {\overset{\infty} {\sum}}\left(\frac{−\mathrm{2}}{{n}}+\frac{−\mathrm{1}}{{n}^{\mathrm{2}} }+\frac{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}}{{n}+\mathrm{1}}+\frac{\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{2}}}{{n}−\mathrm{1}}\right) \\ $$$$={S}_{\mathrm{1}} +{S}_{\mathrm{2}} +{S}_{\mathrm{3}} +{S}_{\mathrm{4}} \\ $$$${S}_{\mathrm{1}} =−\mathrm{2}\underset{{n}=\mathrm{2}} {\overset{\infty} {\sum}}\frac{\mathrm{1}}{{n}} \\ $$$${S}_{\mathrm{1}} =−\mathrm{2}\left\{\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}+…\infty\right)−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}}\right\} \\ $$$$\:\:\:\:\:=−\mathrm{2}\left(\gamma−\mathrm{1}\right)=−\mathrm{2}\gamma+\mathrm{1}\:\:\gamma={Eulers}\:{constant} \\ $$$${S}_{\mathrm{2}} =−\mathrm{1}\underset{{n}=\mathrm{2}} {\overset{\infty} {\sum}}\frac{\mathrm{1}}{{n}^{\mathrm{2}} } \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:=−\mathrm{1}\left\{\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}^{\mathrm{2}} }+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}^{\mathrm{2}} }+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}^{\mathrm{2}} }+..\infty\right)−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}}\right\} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:=−\left(\frac{\pi^{\mathrm{2}} }{\mathrm{6}}−\mathrm{1}\right)=\mathrm{1}−\frac{\pi^{\mathrm{2}} }{\mathrm{6}} \\ $$$${S}_{\mathrm{3}} =\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\underset{{n}=\mathrm{2}} {\overset{\infty} {\sum}}\:\frac{\mathrm{1}}{{n}+\mathrm{1}} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\left\{\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}+…\infty\right)−\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\right)\right\} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\left(\gamma−\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{2}}\right)=\frac{\gamma}{\mathrm{2}}−\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{4}} \\ $$$${S}_{\mathrm{4}} =\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{2}}\underset{{n}=\mathrm{2}} {\overset{\infty} {\sum}}\:\frac{\mathrm{1}}{{n}−\mathrm{1}} \\ $$$$\:\:\:\:\:\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{2}}\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}+…\right) \\ $$$$\:\:\:\:\:=\frac{\mathrm{3}\gamma}{\mathrm{2}} \\ $$$${so}\:{reauired}\:{ans}\:{is}\:{S}_{\mathrm{1}} +{S}_{\mathrm{2}} +{S}_{\mathrm{3}} +{S}_{\mathrm{4}} \\ $$$$=\left(−\mathrm{2}\gamma+\mathrm{1}\right)+\left(\mathrm{1}−\frac{\pi^{\mathrm{2}} }{\mathrm{6}}\right)+\left(\frac{\gamma}{\mathrm{2}}−\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{4}}\right)+\left(\frac{\mathrm{3}\gamma}{\mathrm{2}}\right) \\ $$$$=−\mathrm{2}\gamma+\mathrm{2}\gamma+\mathrm{1}+\mathrm{1}−\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{4}}−\frac{\pi^{\mathrm{2}} }{\mathrm{6}} \\ $$$$=\frac{\mathrm{5}}{\mathrm{4}}−\frac{\pi^{\mathrm{2}} }{\mathrm{6}}\:\:\:{pls}\:{check}… \\ $$$$ \\ $$
Commented by tanmay.chaudhury50@gmail.com last updated on 11/Oct/18
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Commented by ajfour last updated on 11/Oct/18
$${sir}\:{please}\:{explain}\:{me}\:{how} \\ $$$$\underset{{n}=\mathrm{1}} {\overset{\infty} {\sum}}\:\frac{\mathrm{1}}{{n}^{\mathrm{2}} }\:=\:\frac{\pi^{\mathrm{2}} }{\mathrm{6}}\:. \\ $$
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$${proof}\:{taken}\:{from}\:{SL}\:{Loney}\:{Trigonometry} \\ $$