calculate-S-n-0-i-j-n-i-j-2-i-j-

Question Number 46744 by math khazana by abdo last updated on 31/Oct/18

calculate S_n =Σ_(0≤i,j≤n) ((i+j)/2^(i+j) )

$${calculate}\:{S}_{{n}} =\sum_{\mathrm{0}\leqslant{i},{j}\leqslant{n}} \:\frac{{i}+{j}}{\mathrm{2}^{{i}+{j}} } \\ $$

Commented by MJS last updated on 31/Oct/18

$$\mathrm{I}\:\mathrm{think}\:{S}_{\infty} =\mathrm{8}\:\mathrm{but}\:\mathrm{I}\:\mathrm{cannot}\:\mathrm{prove}\:\mathrm{it} \\ $$

Commented by maxmathsup by imad last updated on 31/Oct/18

we have S_n =Σ_(i=0) ^n Σ_(j=0) ^n ((i/(2^i 2^j )) +(j/(2^i 2^j ))) =Σ_(i=0) ^n (i/2^i )Σ_(j=0) ^n (1/2^j ) +Σ_(i=0) ^n (1/2^i )Σ_(j=0) ^n (j/2^j ) = 2 Σ_(i=0) ^n (i/2^i )Σ_(j=0) ^n (1/2^j )( the function (i,j)→((i+j)/2^(i+j) ) is symetric) we have Σ_(j=0) ^n (1/2^j ) =((1−((1/2))^(n+1) )/(1−(1/2))) =2(1−(1/2^(n+1) )) =2 −(1/2^n ) also Σ_(i=0) ^n (i/2^i ) = w((1/2)) with w(x)=Σ_(i=0) ^n ix^i (x≠1) we have Σ_(i=0) ^n x^i =((x^(n+1) −1)/(x−1)) ⇒Σ_(i=1) ^n i x^(i−1) =((nx^(n+1) −(n+1)x^n +1)/((1−x)^2 )) ⇒ Σ_(i=1) ^n i x^i = (x/((1−x)^2 )){nx^(n+1) −(n+1x^n +1}=w(x) ⇒ w((1/2)) =(1/(2((1/4)))){(n/2^(n+1) ) −((n+1)/2^n ) +1} =(n/2^n ) −((n+1)/2^(n−1) ) +2 ⇒ S_n =2 ( (n/2^n ) −((n+1)/2^(n−1) ) +2)(2−(1/2^n )) and we see that lim_(n→+∞) S_(n ) =8 .

$${we}\:{have}\:{S}_{{n}} =\sum_{{i}=\mathrm{0}} ^{{n}} \:\sum_{{j}=\mathrm{0}} ^{{n}} \:\left(\frac{{i}}{\mathrm{2}^{{i}} \:\mathrm{2}^{{j}} }\:+\frac{{j}}{\mathrm{2}^{{i}} \mathrm{2}^{{j}} }\right) \\ $$$$=\sum_{{i}=\mathrm{0}} ^{{n}} \:\frac{{i}}{\mathrm{2}^{{i}} }\sum_{{j}=\mathrm{0}} ^{{n}} \:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}^{{j}} }\:+\sum_{{i}=\mathrm{0}} ^{{n}} \:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}^{{i}} }\sum_{{j}=\mathrm{0}} ^{{n}} \:\frac{{j}}{\mathrm{2}^{{j}} }\:\:=\:\mathrm{2}\:\sum_{{i}=\mathrm{0}} ^{{n}} \:\frac{{i}}{\mathrm{2}^{{i}} }\sum_{{j}=\mathrm{0}} ^{{n}} \:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}^{{j}} }\left(\:{the}\:{function}\right. \\ $$$$\left.\left({i},{j}\right)\rightarrow\frac{{i}+{j}}{\mathrm{2}^{{i}+{j}} }\:{is}\:{symetric}\right)\:\:{we}\:{have}\:\sum_{{j}=\mathrm{0}} ^{{n}} \:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}^{{j}} }\:\:=\frac{\mathrm{1}−\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\right)^{{n}+\mathrm{1}} }{\mathrm{1}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}}\:=\mathrm{2}\left(\mathrm{1}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}^{{n}+\mathrm{1}} }\right) \\ $$$$=\mathrm{2}\:−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}^{{n}} }\:{also}\:\:\sum_{{i}=\mathrm{0}} ^{{n}} \:\frac{{i}}{\mathrm{2}^{{i}} }\:=\:{w}\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\right)\:{with}\:{w}\left({x}\right)=\sum_{{i}=\mathrm{0}} ^{{n}} {ix}^{{i}} \:\:\:\left({x}\neq\mathrm{1}\right) \\ $$$${we}\:{have}\:\sum_{{i}=\mathrm{0}} ^{{n}} \:{x}^{{i}} \:=\frac{{x}^{{n}+\mathrm{1}} −\mathrm{1}}{{x}−\mathrm{1}}\:\Rightarrow\sum_{{i}=\mathrm{1}} ^{{n}} \:{i}\:{x}^{{i}−\mathrm{1}} \:=\frac{{nx}^{{n}+\mathrm{1}} −\left({n}+\mathrm{1}\right){x}^{{n}} +\mathrm{1}}{\left(\mathrm{1}−{x}\right)^{\mathrm{2}} }\:\Rightarrow \\ $$$$\sum_{{i}=\mathrm{1}} ^{{n}} \:{i}\:{x}^{{i}} \:=\:\frac{{x}}{\left(\mathrm{1}−{x}\right)^{\mathrm{2}} }\left\{{nx}^{{n}+\mathrm{1}} −\left({n}+\mathrm{1}{x}^{{n}} \:+\mathrm{1}\right\}={w}\left({x}\right)\:\Rightarrow\right. \\ $$$${w}\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\right)\:=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}\right)}\left\{\frac{{n}}{\mathrm{2}^{{n}+\mathrm{1}} }\:−\frac{{n}+\mathrm{1}}{\mathrm{2}^{{n}} }\:+\mathrm{1}\right\}\:=\frac{{n}}{\mathrm{2}^{{n}} }\:−\frac{{n}+\mathrm{1}}{\mathrm{2}^{{n}−\mathrm{1}} }\:+\mathrm{2}\:\Rightarrow \\ $$$${S}_{{n}} =\mathrm{2}\:\left(\:\frac{{n}}{\mathrm{2}^{{n}} }\:−\frac{{n}+\mathrm{1}}{\mathrm{2}^{{n}−\mathrm{1}} }\:+\mathrm{2}\right)\left(\mathrm{2}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}^{{n}} }\right)\:\:{and}\:{we}\:{see}\:{that}\:{lim}_{{n}\rightarrow+\infty} \:{S}_{{n}\:} =\mathrm{8}\:. \\ $$

Answered by MrW3 last updated on 31/Oct/18

((i+j)/2^(i+j) )=((i+j)/(2^i 2^j ))=(i/2^i )×(1/2^j )+(1/2^i )×(j/2^j ) S_n =Σ_(i=0) ^n Σ_(j=0) ^n ((i+j)/2^(i+j) )=Σ_(i=0) ^n (i/2^i )Σ_(j=0) ^n (1/2^j )+Σ_(i=0) ^n (1/2^i )Σ_(j=0) ^n (j/2^j ) Σ_(i=0) ^n (1/2^i )=((1−(1/2^(n+1) ))/(1−(1/2)))=2(1−(1/2^(n+1) )) let T=Σ_(i=0) ^n (i/2^i ) T=(1/2)+(2/2^2 )+(3/2^3 )+...+(n/2^n ) 2T=1+((1+1)/2)+((1+2)/2^2 )+((1+3)/2^3 )...+((1+n−1)/2^(n−1) ) 2T=1+((1/2)+(1/2))+((1/2^2 )+(2/2^2 ))+((1/2^3 )+(3/2^3 ))...+((1/2^(n−1) )+((n−1)/2^(n−1) )) 2T=(1+(1/2)+(1/2^2 )+(1/2^3 )+...+(1/2^(n−1) ))+((1/2)+(2/2^2 )+(3/2^3 )...+((n−1)/2^(n−1) )) 2T=(1+(1/2)+(1/2^2 )+(1/2^3 )+...+(1/2^(n−1) ))+((1/2)+(2/2^2 )+(3/2^3 )...+((n−1)/2^(n−1) )+(n/2^n ))−(n/2^n ) 2T=(1+(1/2)+(1/2^2 )+(1/2^3 )+...+(1/2^(n−1) ))+T−(n/2^n ) T=(1+(1/2)+(1/2^2 )+(1/2^3 )+...+(1/2^(n−1) ))−(n/2^n ) T=2(1−(1/2^n ))−(n/2^n )=2−((n+2)/2^n )=2(1−((n+2)/2^(n+1) )) S_n =Σ_(i=0) ^n Σ_(j=0) ^n ((i+j)/2^(i+j) )=Σ_(i=0) ^n (i/2^i )Σ_(j=0) ^n (1/2^j )+Σ_(i=0) ^n (1/2^i )Σ_(j=0) ^n (j/2^j ) =2Σ_(i=0) ^n (i/2^i )Σ_(i=0) ^n (1/2^i )=2×2(1−((n+2)/2^(n+1) ))×2(1−(1/2^(n+1) )) ⇒S_n =8(1−((n+2)/2^(n+1) ))(1−(1/2^(n+1) )) lim_(n→∞) S_n =8

$$\frac{{i}+{j}}{\mathrm{2}^{{i}+{j}} }=\frac{{i}+{j}}{\mathrm{2}^{{i}} \mathrm{2}^{{j}} }=\frac{{i}}{\mathrm{2}^{{i}} }×\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}^{{j}} }+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}^{{i}} }×\frac{{j}}{\mathrm{2}^{{j}} } \\ $$$${S}_{{n}} =\underset{{i}=\mathrm{0}} {\overset{{n}} {\sum}}\underset{{j}=\mathrm{0}} {\overset{{n}} {\sum}}\frac{{i}+{j}}{\mathrm{2}^{{i}+{j}} }=\underset{{i}=\mathrm{0}} {\overset{{n}} {\sum}}\frac{{i}}{\mathrm{2}^{{i}} }\underset{{j}=\mathrm{0}} {\overset{{n}} {\sum}}\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}^{{j}} }+\underset{{i}=\mathrm{0}} {\overset{{n}} {\sum}}\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}^{{i}} }\underset{{j}=\mathrm{0}} {\overset{{n}} {\sum}}\frac{{j}}{\mathrm{2}^{{j}} } \\ $$$$\underset{{i}=\mathrm{0}} {\overset{{n}} {\sum}}\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}^{{i}} }=\frac{\mathrm{1}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}^{{n}+\mathrm{1}} }}{\mathrm{1}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}}=\mathrm{2}\left(\mathrm{1}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}^{{n}+\mathrm{1}} }\right) \\ $$$${let}\:{T}=\underset{{i}=\mathrm{0}} {\overset{{n}} {\sum}}\frac{{i}}{\mathrm{2}^{{i}} } \\ $$$${T}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}+\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{2}^{\mathrm{2}} }+\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{2}^{\mathrm{3}} }+…+\frac{{n}}{\mathrm{2}^{{n}} } \\ $$$$\mathrm{2}{T}=\mathrm{1}+\frac{\mathrm{1}+\mathrm{1}}{\mathrm{2}}+\frac{\mathrm{1}+\mathrm{2}}{\mathrm{2}^{\mathrm{2}} }+\frac{\mathrm{1}+\mathrm{3}}{\mathrm{2}^{\mathrm{3}} }…+\frac{\mathrm{1}+{n}−\mathrm{1}}{\mathrm{2}^{{n}−\mathrm{1}} } \\ $$$$\mathrm{2}{T}=\mathrm{1}+\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\right)+\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}^{\mathrm{2}} }+\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{2}^{\mathrm{2}} }\right)+\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}^{\mathrm{3}} }+\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{2}^{\mathrm{3}} }\right)…+\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}^{{n}−\mathrm{1}} }+\frac{{n}−\mathrm{1}}{\mathrm{2}^{{n}−\mathrm{1}} }\right) \\ $$$$\mathrm{2}{T}=\left(\mathrm{1}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}^{\mathrm{2}} }+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}^{\mathrm{3}} }+…+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}^{{n}−\mathrm{1}} }\right)+\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}+\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{2}^{\mathrm{2}} }+\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{2}^{\mathrm{3}} }…+\frac{{n}−\mathrm{1}}{\mathrm{2}^{{n}−\mathrm{1}} }\right) \\ $$$$\mathrm{2}{T}=\left(\mathrm{1}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}^{\mathrm{2}} }+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}^{\mathrm{3}} }+…+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}^{{n}−\mathrm{1}} }\right)+\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}+\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{2}^{\mathrm{2}} }+\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{2}^{\mathrm{3}} }…+\frac{{n}−\mathrm{1}}{\mathrm{2}^{{n}−\mathrm{1}} }+\frac{{n}}{\mathrm{2}^{{n}} }\right)−\frac{{n}}{\mathrm{2}^{{n}} } \\ $$$$\mathrm{2}{T}=\left(\mathrm{1}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}^{\mathrm{2}} }+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}^{\mathrm{3}} }+…+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}^{{n}−\mathrm{1}} }\right)+{T}−\frac{{n}}{\mathrm{2}^{{n}} } \\ $$$${T}=\left(\mathrm{1}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}^{\mathrm{2}} }+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}^{\mathrm{3}} }+…+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}^{{n}−\mathrm{1}} }\right)−\frac{{n}}{\mathrm{2}^{{n}} } \\ $$$${T}=\mathrm{2}\left(\mathrm{1}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}^{{n}} }\right)−\frac{{n}}{\mathrm{2}^{{n}} }=\mathrm{2}−\frac{{n}+\mathrm{2}}{\mathrm{2}^{{n}} }=\mathrm{2}\left(\mathrm{1}−\frac{{n}+\mathrm{2}}{\mathrm{2}^{{n}+\mathrm{1}} }\right) \\ $$$${S}_{{n}} =\underset{{i}=\mathrm{0}} {\overset{{n}} {\sum}}\underset{{j}=\mathrm{0}} {\overset{{n}} {\sum}}\frac{{i}+{j}}{\mathrm{2}^{{i}+{j}} }=\underset{{i}=\mathrm{0}} {\overset{{n}} {\sum}}\frac{{i}}{\mathrm{2}^{{i}} }\underset{{j}=\mathrm{0}} {\overset{{n}} {\sum}}\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}^{{j}} }+\underset{{i}=\mathrm{0}} {\overset{{n}} {\sum}}\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}^{{i}} }\underset{{j}=\mathrm{0}} {\overset{{n}} {\sum}}\frac{{j}}{\mathrm{2}^{{j}} } \\ $$$$=\mathrm{2}\underset{{i}=\mathrm{0}} {\overset{{n}} {\sum}}\frac{{i}}{\mathrm{2}^{{i}} }\underset{{i}=\mathrm{0}} {\overset{{n}} {\sum}}\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}^{{i}} }=\mathrm{2}×\mathrm{2}\left(\mathrm{1}−\frac{{n}+\mathrm{2}}{\mathrm{2}^{{n}+\mathrm{1}} }\right)×\mathrm{2}\left(\mathrm{1}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}^{{n}+\mathrm{1}} }\right) \\ $$$$\Rightarrow{S}_{{n}} =\mathrm{8}\left(\mathrm{1}−\frac{{n}+\mathrm{2}}{\mathrm{2}^{{n}+\mathrm{1}} }\right)\left(\mathrm{1}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}^{{n}+\mathrm{1}} }\right) \\ $$$$\underset{{n}\rightarrow\infty} {\mathrm{lim}}{S}_{{n}} =\mathrm{8} \\ $$

Commented by behi83417@gmail.com last updated on 31/Oct/18