Question Number 83214 by mathmax by abdo last updated on 28/Feb/20
$${calculate}\:\:{U}_{{n}} =\sum_{{k}=\mathrm{0}} ^{{n}} \:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}{k}+\mathrm{1}}\:{interms}\:{of}\:{H}_{{n}} =\sum_{{k}=\mathrm{1}} ^{{n}} \:\frac{\mathrm{1}}{{k}} \\ $$
Answered by ~blr237~ last updated on 29/Feb/20
$${let}\:\:{n}\geqslant\mathrm{1}\:\: \\ $$$${H}_{\mathrm{3}{n}} =\underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{\mathrm{3}{n}} {\sum}}\frac{\mathrm{1}}{{k}}\:\:=\:\underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{{n}} {\sum}}\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}{k}}\:+\underset{{k}=\mathrm{0}} {\overset{{n}−\mathrm{1}} {\sum}}\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}{k}+\mathrm{1}}+\underset{{k}=\mathrm{0}} {\overset{{n}−\mathrm{1}} {\sum}}\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}{k}+\mathrm{2}}\: \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}{H}_{{n}} +{U}_{{n}−\mathrm{1}} +{V}_{{n}−\mathrm{1}} \:\:\:\:\left(\mathrm{1}\right)\:\:\:\:{where}\:\:{V}_{{n}} =\underset{{k}=\mathrm{0}} {\overset{{n}} {\sum}}\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}{k}+\mathrm{2}} \\ $$$${H}_{\mathrm{3}{n}+\mathrm{1}} =\underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{{n}} {\sum}}\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}{k}}\:+\underset{{k}=\mathrm{0}} {\overset{{n}} {\sum}}\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}{k}+\mathrm{1}}+\underset{{k}=\mathrm{0}} {\overset{{n}−\mathrm{1}} {\sum}}\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}{k}+\mathrm{2}} \\ $$$$\:\:\:=\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}{H}_{{n}} +{U}_{{n}} +{V}_{{n}−\mathrm{1}} \:\:\:\:\left(\mathrm{2}\right) \\ $$$$\left(\mathrm{2}\right)−\left(\mathrm{1}\right)\:\Rightarrow\:{U}_{{n}} −{U}_{{n}−\mathrm{1}} =\:{H}_{\mathrm{3}{n}+\mathrm{1}} −{H}_{\mathrm{3}{n}} \\ $$$$\:\:{so}\:\:\underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{{n}} {\sum}}\left({U}_{{k}} −{U}_{{k}−\mathrm{1}} \right)=\underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{{n}} {\sum}}\left({H}_{\mathrm{3}{k}+\mathrm{1}} −{H}_{\mathrm{3}{k}} \right) \\ $$$${Then}\:\:\:\:{U}_{{n}} ={U}_{\mathrm{0}} +\underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{{n}} {\sum}}\left({H}_{\mathrm{3}{k}+\mathrm{1}} −{H}_{\mathrm{3}{k}} \right) \\ $$