Question Number 98942 by mathmax by abdo last updated on 17/Jun/20
$$\mathrm{calculate}\:\int\:\frac{\mathrm{x}+\mathrm{1}−\sqrt{\mathrm{2x}+\mathrm{3}}}{\mathrm{x}−\mathrm{2}\:+\sqrt{\mathrm{x}+\mathrm{1}}}\:\mathrm{dx} \\ $$
Commented by MJS last updated on 17/Jun/20
$$\mathrm{Sir}\:\mathrm{Abdo},\:\mathrm{do}\:\mathrm{you}\:\mathrm{have}\:\mathrm{an}\:\mathrm{easy}\:\mathrm{solution}? \\ $$$$\mathrm{I}\:\mathrm{can}\:\mathrm{solve}\:\mathrm{it}\:\mathrm{but}\:\mathrm{the}\:\mathrm{constants}\:\mathrm{are}\:\mathrm{getting} \\ $$$$\mathrm{horrible}… \\ $$
Commented by mathmax by abdo last updated on 18/Jun/20
$$\mathrm{use}\:\mathrm{hyperbolic}\:\mathrm{function}\:\mathrm{sir}. \\ $$
Answered by 4635 last updated on 17/Jun/20
$$\Leftrightarrow\int\frac{{x}+\mathrm{1}}{{x}−\mathrm{2}+\sqrt{{x}+\mathrm{1}}}{dx}−\int\frac{\sqrt{\mathrm{2}{x}+\mathrm{3}}}{{x}−\mathrm{2}+\sqrt{{x}+\mathrm{1}}}{dx} \\ $$
Commented by 4635 last updated on 17/Jun/20
$${posons}\:{k}=\int\frac{{x}+\mathrm{1}}{{x}−\mathrm{2}+\sqrt{{x}+\mathrm{1}}}{dx}\:{et} \\ $$$${d}=\int\frac{\sqrt{\mathrm{2}{x}+\mathrm{3}}}{{x}−\mathrm{2}+\sqrt{{x}+\mathrm{1}}}{dx} \\ $$
Commented by 4635 last updated on 17/Jun/20
$${on}\:{a}:\:\int\frac{{x}+\mathrm{1}}{{x}−\mathrm{2}+\sqrt{{x}+\mathrm{1}}}{dx} \\ $$$${put}\:{t}^{\mathrm{2}} ={x}+\mathrm{1}\:\Rightarrow\mathrm{2}{tdt}={dx} \\ $$$$\int\frac{\mathrm{2}{t}^{\mathrm{3}} }{{t}^{\mathrm{2}} −\mathrm{3}+{t}}{dt}\:\Rightarrow\int\frac{\mathrm{2}{t}^{\mathrm{3}} }{{t}^{\mathrm{2}} +{t}−\mathrm{3}}{dt} \\ $$$$\:=\int\frac{\mathrm{2}{t}^{\mathrm{3}} }{\left({t}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\right)^{\mathrm{2}} −\left(\frac{\sqrt{\mathrm{7}}}{\mathrm{2}}\right)^{\mathrm{2}} }{dt} \\ $$$${let}\:{u}={t}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\:\Rightarrow{du}={dt} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{2}\int\frac{\left({u}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\right)^{\mathrm{3}} }{{u}^{\mathrm{2}} −\left(\frac{\sqrt{\mathrm{7}}}{\mathrm{2}}\right)^{\mathrm{2}} }{du}=\int\frac{{u}^{\mathrm{3}} −\frac{\mathrm{3}{u}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{2}}+\frac{\mathrm{3}{u}}{\mathrm{4}}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{8}}}{{u}^{\mathrm{2}} −\left(\frac{\sqrt{\mathrm{7}}}{\mathrm{2}}\right)^{\mathrm{2}} }{du} \\ $$
Answered by MJS last updated on 17/Jun/20
$$\int\frac{{x}+\mathrm{1}−\sqrt{\mathrm{2}{x}+\mathrm{3}}}{{x}−\mathrm{2}+\sqrt{{x}+\mathrm{1}}}{dx}= \\ $$$$=\int\frac{{x}+\mathrm{1}}{{x}−\mathrm{2}+\sqrt{{x}+\mathrm{1}}}{dx}−\int\frac{\sqrt{\mathrm{2}{x}+\mathrm{3}}}{{x}−\mathrm{2}+\sqrt{{x}+\mathrm{1}}}{dx} \\ $$$$\int\frac{{x}+\mathrm{1}}{{x}−\mathrm{2}+\sqrt{{x}+\mathrm{1}}}{dx}= \\ $$$$\:\:\:\:\:\left[{t}=\sqrt{{x}+\mathrm{1}}\:\rightarrow\:{dx}=\mathrm{2}\sqrt{{x}+\mathrm{1}}{dt}\right] \\ $$$$=\mathrm{2}\int\frac{{t}^{\mathrm{3}} }{{t}^{\mathrm{2}} +{t}−\mathrm{3}}{dt}=\mathrm{2}\left(\int{tdt}−\int{dt}+\int\frac{\mathrm{4}{t}−\mathrm{3}}{{t}^{\mathrm{2}} +{t}−\mathrm{3}}{dt}\right)= \\ $$$$={t}\left({t}−\mathrm{2}\right)+\frac{\mathrm{4}}{\mathrm{13}}\left(\left(\mathrm{26}+\mathrm{5}\sqrt{\mathrm{13}}\right)\int\frac{{dt}}{\mathrm{2}{t}+\mathrm{1}+\sqrt{\mathrm{13}}}+\left(\mathrm{26}−\mathrm{5}\sqrt{\mathrm{13}}\right)\int\frac{{dt}}{\mathrm{2}{t}+\mathrm{1}−\sqrt{\mathrm{13}}}\right) \\ $$$$\mathrm{and}\:\mathrm{these}\:\mathrm{are}\:\mathrm{easy}\:\mathrm{to}\:\mathrm{solve} \\ $$$$−\int\frac{\sqrt{\mathrm{2}{x}+\mathrm{3}}}{{x}−\mathrm{2}+\sqrt{{x}+\mathrm{1}}}{dx}=−\int\frac{\left({x}−\mathrm{2}−\sqrt{{x}+\mathrm{1}}\right)\sqrt{\mathrm{2}{x}+\mathrm{3}}}{{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{5}{x}+\mathrm{3}}{dx}= \\ $$$$=−\int\frac{\left({x}−\mathrm{2}\right)\sqrt{\mathrm{2}{x}+\mathrm{3}}}{{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{5}{x}+\mathrm{3}}{dx}+\int\frac{\sqrt{{x}+\mathrm{1}}\sqrt{\mathrm{2}{x}+\mathrm{3}}}{{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{5}{x}+\mathrm{3}}{dx} \\ $$$$−\int\frac{\left({x}−\mathrm{2}\right)\sqrt{\mathrm{2}{x}+\mathrm{3}}}{{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{5}{x}+\mathrm{3}}{dx}= \\ $$$$\:\:\:\:\:\left[{u}=\sqrt{\mathrm{2}{x}+\mathrm{3}}\:\rightarrow\:{dx}=\sqrt{\mathrm{2}{x}+\mathrm{3}}{du}\right] \\ $$$$=−\mathrm{2}\int\frac{{u}^{\mathrm{2}} \left({u}^{\mathrm{2}} −\mathrm{7}\right)}{{u}^{\mathrm{4}} −\mathrm{16}{u}^{\mathrm{2}} +\mathrm{51}}{du} \\ $$$$\:\:\:\:\:{u}^{\mathrm{4}} −\mathrm{16}{u}^{\mathrm{2}} +\mathrm{51}=\left({u}−\alpha\right)\left({u}+\alpha\right)\left({u}−\beta\right)\left({u}+\beta\right) \\ $$$$\:\:\:\:\:\alpha,\:\beta\:\in\mathbb{R} \\ $$$$\:\:\:\:\:\Rightarrow\:\mathrm{we}\:\mathrm{can}\:\mathrm{easily}\:\mathrm{solve}\:\mathrm{this}\:\mathrm{by}\:\mathrm{decomposing} \\ $$$$\int\frac{\sqrt{{x}+\mathrm{1}}\sqrt{\mathrm{2}{x}+\mathrm{3}}}{{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{5}{x}+\mathrm{3}}{dx}= \\ $$$$\:\:\:\:\:\left[{v}=\frac{\sqrt{\mathrm{2}\left({x}+\mathrm{1}\right)}}{\:\sqrt{\mathrm{2}{x}+\mathrm{3}}}\:\rightarrow\:{dx}=\sqrt{\mathrm{2}\left({x}+\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{2}{x}+\mathrm{3}\right)^{\mathrm{3}} }{dv}\right] \\ $$$$=\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{2}}\int\frac{{v}^{\mathrm{2}} }{\left({v}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{51}{v}^{\mathrm{4}} −\mathrm{86}{v}^{\mathrm{2}} +\mathrm{36}\right)}{dv} \\ $$$$\:\:\:\:\:\mathrm{51}{v}^{\mathrm{4}} −\mathrm{86}{v}^{\mathrm{2}} +\mathrm{36}=\mathrm{51}\left({v}−\gamma\right)\left({v}+\gamma\right)\left({v}−\delta\right)\left({v}+\gamma\right) \\ $$$$\:\:\:\:\:\gamma,\:\delta\:\in\mathbb{R} \\ $$$$\:\:\:\:\:\Rightarrow\:\mathrm{again}\:\mathrm{easy}\:\mathrm{to}\:\mathrm{solve} \\ $$$$…\mathrm{but}\:\mathrm{I}'\mathrm{m}\:\mathrm{not}\:\mathrm{eager}\:\mathrm{for}\:\mathrm{typing}\:\mathrm{the}\:\mathrm{constants}… \\ $$
Commented by mathmax by abdo last updated on 18/Jun/20
$$\mathrm{thank}\:\mathrm{you}\:\mathrm{sir}\:\mathrm{mjs}. \\ $$
Answered by mathmax by abdo last updated on 18/Jun/20
$$\mathrm{I}\:=\int\:\:\frac{\mathrm{x}+\mathrm{1}−\sqrt{\mathrm{2x}+\mathrm{3}}}{\mathrm{x}−\mathrm{2}+\sqrt{\mathrm{x}+\mathrm{1}}}\:\mathrm{dx}\:\Rightarrow\:\mathrm{I}\:=\int\:\frac{\mathrm{x}+\mathrm{1}}{\mathrm{x}−\mathrm{2}+\sqrt{\mathrm{x}+\mathrm{1}}}\mathrm{dx}\:−\int\:\frac{\sqrt{\mathrm{2x}+\mathrm{3}}}{\mathrm{x}−\mathrm{2}+\sqrt{\mathrm{x}+\mathrm{1}}}\mathrm{dx}\:=\mathrm{H}−\mathrm{K} \\ $$$$\mathrm{changement}\:\sqrt{\mathrm{x}+\mathrm{1}}=\mathrm{t}\:\mathrm{give}\:\mathrm{x}+\mathrm{1}\:=\mathrm{t}^{\mathrm{2}} \:\Rightarrow \\ $$$$\mathrm{H}\:=\int\:\:\frac{\mathrm{t}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{t}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}−\mathrm{2}+\mathrm{t}}\left(\mathrm{2t}\right)\mathrm{dt}\:=\:\mathrm{2}\:\int\:\:\frac{\mathrm{t}^{\mathrm{3}} }{\mathrm{t}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{t}−\mathrm{3}}\mathrm{dt} \\ $$$$=\mathrm{2}\:\int\:\frac{\mathrm{t}\left(\mathrm{t}^{\mathrm{2}} +\mathrm{t}−\mathrm{3}\right)−\mathrm{t}^{\mathrm{2}} +\mathrm{3t}}{\mathrm{t}^{\mathrm{2}} +\mathrm{t}−\mathrm{3}}\mathrm{dt}\:=\:\mathrm{2}\:\int\:\mathrm{tdt}\:+\mathrm{2}\:\int\:\frac{−\mathrm{t}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{3t}}{\mathrm{t}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{t}−\mathrm{3}}\mathrm{dt} \\ $$$$=\mathrm{t}^{\mathrm{2}} \:−\mathrm{2}\:\int\:\:\frac{\mathrm{t}^{\mathrm{2}} −\mathrm{3t}}{\mathrm{t}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{t}−\mathrm{3}}\mathrm{dt}\:\:=\mathrm{t}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2}\:\int\:\frac{\mathrm{t}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{t}−\mathrm{3}\:−\mathrm{t}+\mathrm{3}−\mathrm{3t}}{\mathrm{t}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{t}−\mathrm{3}}\mathrm{dt}\:=\mathrm{t}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2t}\:+\mathrm{2}\int\:\frac{\mathrm{4t}−\mathrm{3}}{\mathrm{t}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{t}−\mathrm{3}}\mathrm{dt} \\ $$$$\mathrm{t}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{t}−\mathrm{3}\:=\mathrm{0}\rightarrow\Delta\:=\mathrm{1}+\mathrm{12}\:=\mathrm{13}\:\Rightarrow\mathrm{t}_{\mathrm{1}} =\frac{−\mathrm{1}+\sqrt{\mathrm{13}}}{\mathrm{2}}\:\mathrm{and}\:\mathrm{t}_{\mathrm{2}} =\frac{−\mathrm{1}−\sqrt{\mathrm{13}}}{\mathrm{2}} \\ $$$$\mathrm{f}\left(\mathrm{t}\right)\:=\frac{\mathrm{4t}−\mathrm{3}}{\mathrm{t}^{\mathrm{2}} +\mathrm{t}−\mathrm{3}}\:=\frac{\mathrm{4t}−\mathrm{3}}{\left(\mathrm{t}−\mathrm{t}_{\mathrm{1}} \right)\left(\mathrm{t}−\mathrm{t}_{\mathrm{2}} \right)}\:=\frac{\mathrm{a}}{\mathrm{t}−\mathrm{t}_{\mathrm{1}} }\:+\frac{\mathrm{b}}{\mathrm{t}−\mathrm{t}_{\mathrm{2}} }\:\Rightarrow\mathrm{eazy}\:\mathrm{to}\:\mathrm{find}\:\mathrm{a}\:\mathrm{and}\:\mathrm{b}\:\Rightarrow \\ $$$$\int\:\mathrm{f}\left(\mathrm{t}\right)\mathrm{dt}\:=\mathrm{aln}\mid\mathrm{t}−\mathrm{t}_{\mathrm{1}} \mid\:+\mathrm{bln}\mid\mathrm{t}−\mathrm{t}_{\mathrm{2}} \mid\:+\mathrm{c}\:\Rightarrow \\ $$$$\mathrm{H}\:=\mathrm{x}+\mathrm{1}−\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{x}+\mathrm{1}}\:+\mathrm{2aln}\mid\sqrt{\mathrm{x}+\mathrm{1}}−\mathrm{t}_{\mathrm{1}} \mid\:+\mathrm{2b}\:\mathrm{ln}\mid\sqrt{\mathrm{x}+\mathrm{1}}−\mathrm{t}_{\mathrm{2}} \mid\:+\mathrm{c} \\ $$$$\mathrm{K}\:=\int\:\:\frac{\sqrt{\mathrm{2x}+\mathrm{3}}}{\mathrm{x}−\mathrm{2}+\sqrt{\mathrm{x}+\mathrm{1}}}\mathrm{dt}\:\:\mathrm{changement}\:\:\sqrt{\mathrm{x}+\mathrm{1}}=\mathrm{t}\:\mathrm{give}\:\mathrm{x}+\mathrm{1}\:=\mathrm{t}^{\mathrm{2}} \\ $$$$\mathrm{K}\:=\int\:\:\frac{\sqrt{\mathrm{2}\left(\mathrm{t}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}\right)+\mathrm{3}}}{\mathrm{t}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}−\mathrm{2}\:+\mathrm{t}}\left(\mathrm{2t}\right)\mathrm{dt}\:=\mathrm{2}\:\int\:\:\frac{\sqrt{\mathrm{2t}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}}}{\mathrm{t}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{t}−\mathrm{3}}\mathrm{tdt} \\ $$$$=\mathrm{2}\:\int\:\:\frac{\mathrm{t}\sqrt{\mathrm{2}\left(\mathrm{t}^{\mathrm{2}} \:+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\right)}}{\mathrm{t}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{t}−\mathrm{3}}\mathrm{dt}\:=\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{2}}\:\int\:\:\frac{\mathrm{t}\sqrt{\mathrm{t}^{\mathrm{2}} \:+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}}}{\mathrm{t}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{t}−\mathrm{3}}\mathrm{dt}\:\:\mathrm{we}\:\mathrm{do}\:\mathrm{the}\:\mathrm{changement}\: \\ $$$$\mathrm{t}\:=\frac{\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{2}}}\mathrm{shu}\:\Rightarrow\:\mathrm{K}\:=\sqrt{\mathrm{2}}\:\int\:\:\:\:\frac{\mathrm{shu}×\mathrm{chu}}{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathrm{sh}^{\mathrm{2}} \mathrm{u}\:+\frac{\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{2}}}\mathrm{shu}\:−\mathrm{3}}\left(\frac{\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{2}}}\right)\mathrm{chu}\:\mathrm{du} \\ $$$$=\int\:\:\frac{\mathrm{2shu}\:\mathrm{ch}^{\mathrm{2}} \mathrm{u}}{\mathrm{sh}^{\mathrm{2}} \mathrm{u}\:+\sqrt{\mathrm{2}}\mathrm{shu}\:−\mathrm{6}}\:\mathrm{du}\:\:\:\mathrm{this}\:\mathrm{integrale}\:\mathrm{is}\:\mathrm{solvable}\:…\mathrm{be}\:\mathrm{continued}… \\ $$
Commented by MJS last updated on 18/Jun/20
$$\mathrm{this}\:\mathrm{leads}\:\mathrm{to}\:\mathrm{a}\:\mathrm{polynome}\:\mathrm{of}\:\mathrm{4}^{\mathrm{th}} \:\mathrm{degree}\:\mathrm{in}\:\mathrm{the} \\ $$$$\mathrm{denominator},\:\mathrm{too}.\:\mathrm{we}\:\mathrm{can}\:\mathrm{solve}\:\mathrm{it}\:\mathrm{but}\:\mathrm{the} \\ $$$$\mathrm{constants}\:\mathrm{are}\:\mathrm{horrible}\:\mathrm{also} \\ $$